四川省成都市树德中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学（理）试题

树德中学高2021级高三上学期期末测试数学（理科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．2.在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（    ）A． B．2 C． D．53.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ）A． B． C． D．4．下列叙述错误的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.若幂函数在上单调递增，则实数的值为C.，D.设，则“”是“”的充分不必要条件5．平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ）A．0条 B．4条 C．2条 D．3条6.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ）A． B． C． D．7.双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（    ）A．3或7 B．7 C．5 D．38．某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（    ）A．906 B．966 C．1506 D．15669.若展开式中最大的二项式系数为，则直线与曲线围成图形的面积为（    ）A． B． C． D．10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在区间上的最小值为B.为偶函数C.图象对称中心是，D.的图象向右平移个单位长度后得到的图象11.如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（    ）A．4个B．3个C．2个D．1个12.已知函数，若方程有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，，则在方向上的投影等于．14.已知满足约束条件，则的取值范围为．15.已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则.16.在锐角三角形中，角所对的边为，且.若点为的垂心，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性分2期分3期分4期分5期频数11323若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.18.(本题满分12分）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，其中n∈N*．（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．19.（本小题满分12分）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.  （1）求二面角的余弦值；（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；（2）已知，若，函数的最小值为，求的值域.21.(本小题满分12分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线m与椭圆交于两点，过且与m垂直的直线n与圆O：交于C，D两点，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线有2个公共点，求的取值范围．23.（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.高2021级高三期末考试数学试题（理科）参考答案一、1－5CAADD6－10BBDAB11－12CB13、14、15、416、三、17、解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2.5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0)=；P(X=0．5)=；P(X=1)=．∴X的分布列为：X00．51P∴X的数学期望E(X)=×0+×0．5+×1=．∴X的数学期望为．………………………………12分18、（1）设等比数列的公比为q，由得：，所以，即，故q＝3，当n＝1时，，故为等比数列，故数列的通项公式为；由得：，故，，，……，，，以上n-1个式子相乘得，，故；（2）由，结合（1）可得：，所以，，两式相减得，，所以，故．19、（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，所以是正三角形，四边形为菱形，可得，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，，所以二面角的余弦值为.（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.设，因为，，所以，设与平面所成角为，则，即，，解得，所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.20、解：（1）当时，显然不满足题意，当时，若函数只有一个零点，即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，即直线与函数（且）的图象只有一个交点.，令，得，在和上，，在上，，所以在和上单调递减，在上单调递增.在时有极小值，图象如图所示：由图可知：若要使直线与函数的图象只有一个交点，则或，综上的取值所构成的集合为.（2）由题意知，令得所在上单调递增.又由零点的存在性定理知存在使得所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.故又所以，又，所以.令在单调递减，由得.将代入，得.令，得，所以在单调递减，又所以的值域为.21、（1）依题意可得直线的方程为，即，则到直线的距离.又，，故，，所以椭圆的标准方程为.（2）①当直线m的斜率为0时，直线m的方程为，代入椭圆方程可得，.直线的方程，代入圆的方程可得，,所以，，；②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，代入椭圆方程可得，.直线的方程，代入圆的方程可得，,所以，，；③当直线m的斜率存在且不为0时，设，则，点O到直线n的距离，圆的半径，根据垂径定理可得，所以.将代入曲线E的方程，整理得，恒成立.设，，由韦达定理可得，，，则.所以.因为，所以，所以.令，则，.令，，则在上恒成立，所以在上单调递减.又，，所以，即.综上所述，的取值范围是.  22、（1）因为，，，将曲线的参数方程中的参数消去，并结合可得曲线的普通方程为：．直线的极坐标方程为，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为．（2）曲线是以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，且圆弧两端点的坐标分别为和，作出曲线与直线，如图所示，当直线经过点时，直线与曲线有两个交点，此时．当直线与曲线相切时，有，解得或（舍去）．数形结合可知的取值范围为．23、解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为.（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不等式恒成立；当时，恒成立，所以时不等式恒成立；当时，恒成立，而，所以时不等式恒成立；当时，即恒成立，而，所以不等式恒成立.综上，满足要求的的取值范围为.