成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题(理)(总分:150分,时间:120分钟)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.若复数z满足zi2i(i是虚数单位),则z()A.12iB.12iC.12iD.12i2.已知集合Myy2x,x1,Nxyxx2,则MN等于()A.(0,1]B.{2}C.[0,2]D.(,2]3.设等差数列an的前n项和为Sn,且S1326,则a3a8a10的值为()A.6B.7C.8D.92y54.xxy的展开式中,x3y3的系数为()xA.15B.5C.5D.15ππ5.函数fxAsinxA0,0,部分图象如图所示,则f()2331A.B.22C.3D.36.已知圆C:x2y26x50与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切,则双曲线D的离心率为()356353A.B.3C.3或D.或52527.已知函数f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)x3x1,则曲线yf(x)在x=1处的切线方程为()A.2xy10B.2xy30C.2xy30D.2xy108.已知一个组合体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()26A.2π22B.2π22626C.2π2D.2π322学科网(北京)股份有限公司119.执行如图所示的程序框图,若随机输入的a0,16,则输出的b,的概率为()42315A.B.161613C.D.2410.若2x3,3y4,则下列选项正确的是()3A.yB.xy21C.y2D.xy22x11.已知长方体ABCDA1B1C1D1在球O的内部,球心O在平面ABCD上,若球的半径为3,ABBC,则该长方体体积的最大值是()A.4B.8C.12D.1812.曲线C是平面内与三个定点F11,0,F21,0和F30,1的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个结论:①曲线C关于x轴、y轴均对称;22②曲线C上存在点P,使得PF;33③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积最大值是1;④曲线C上存在点P,使得F1PF2为钝角.其中所有正确结论的序号是()A.②③④B.②③C.③④D.①②③④第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)x2y813.若x、y满足约束条件0x4,则zxy的最大值为__________.0y3121114.设f(x)log,则不等式f(1)的解集为__________.x2xx2π24π15.已知sin,则cos2的值为__________.63316.如图,在三棱锥AA1B1C1中,AA1平面A1B1C1,A1B1C190,A1B12A1A2B1C12,P为线段AB1学科网(北京)股份有限公司的中点,M,N分别为线段AC1和线段B1C1上任意一点,则5PMMN的最小值为__________.三、解答题(本题共6道小题,共70分)17.某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中,为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位:cm)与父亲身高x(单位:cm)之间的关系及存在的遗传规律,随机抽取了5对父子的身高数据,如下表:父亲身高x160170175185190儿子身高y170174175180186n5555xixyiy2y885ˆi1参考数据及公式:xi880,xi155450,i,xiyi156045,bn,i1i1i1i12xixi1aˆybˆx(1)根据表中数据,求出y关于x的线性回归方程;(2)小明的父亲身高178cm,请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。18.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABAD,AD//BC,侧面PAB面ABCD,PAABAD2,BC4,E为PD的中点.(1)求证:面PBC面PDC;(2)若二面角PADB的大小为60,求BE与面PBC所成角的正弦值.19.为加强学生劳动教育,成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动.经测量,边界AB与AD的长度都是14米,BAD60,BCD120.(1)若DC的长为6米,求BC的长;(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入,问所需要篱笆的最大长度为多少米?学科网(北京)股份有限公司22xy1220.已知椭圆C:1ab0的离心率为,抛物线C:y4x在第一象限与椭圆C1交于点A1a2b2225,点F为抛物线C的焦点,且满足|AF|.23(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线xmy1与椭圆C1交于P,Q两点,过P,Q分别作直线l:xtt2的垂线,垂足为M、N,l与x轴的交点为T.若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列,求实数m的取值范围.121.已知函数f(x)xmlnxm,其中e是自然对数的底数.x(1)讨论fx的单调性;1(2)若m1,设关于x的不等式f(x)xlnxkxn对x1,e恒成立时k的最大值为xckR,n1,e,求nc的取值范围.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)x14cos22.已知圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极y14sin坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;xtcos(2)若直线l的参数方程是(t为参数,为直线l的倾斜角),l与C交于A,B两点,ytsin|AB|214,求l的斜率.23.已知函数fxx2.(1)求不等式fx2x5的解集;(2)若fx3xa恒成立,求a的取值范围.学科网(北京)股份有限公司成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题(理)参考答案1.若复数z满足zi2i(i是虚数单位),则z()A.12iB.12iC.12iD.12i【答案】A2i【分析】计算z12i,再计算共轭复数即可.i2i【详解】zi2i,则z12i,则z12i.i故选:A2.已知集合Myy2x,x1,Nxyxx2,则MN等于()A.(0,1]B.{2}C.[0,2]D.(,2]2.C【分析】根据指数函数单调性得到M0,2,解不等式求出N0,1,利用并集概念求出答案.【详解】y2x0,2,故M0,2,令xx20,解得0x1,故N0,1,故MN0,2.故选:C3.设等差数列的前项和为,且,则的值为annSnS1326a3a8a10A.6B.7C.8D.9【答案】选A【解析】由,可得,则.S1313a726a72a3a8a103a762y5334.xxy的展开式中,xy的系数为xA.15B.5C.5D.15【答案】选A22y55y5【解析】xxyxxyxy,xx5的展开式通项为k5kkkk6kk,xxyTkxC5x(y)(1)C5xy22y5yxy的展开式通项为SCrx5r(y)r(1)rCrx4ryr2,xrx556k3k3由,可得,4r3r12y5因此,式子的展开式中,33的系数为3311.xxyxy(1)C5(1)C515xππ5.函数fxAsinxA0,0,部分图象如图所示,则f23学科网(北京)股份有限公司31A.B.C.3D.322【答案】选D3112【解析】由函数f(x)Asin(x)的部分图象知,A2,T3,4332121212解得T4,∴,又f2sin2,可得2k,kZ,2323232π1解得2k,kZ,∵||,∴可得,∴f(x)2sinx,626261∴f2sin2sin3.323636.已知圆C:x2y26x50与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切,则双曲线D的离心率为()356353.A.B.3C.3或D.或5252【答案】D【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上,由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.【详解】因为C:x2y26x50可化为x32y24,则圆C的圆心为3,0,半径为2,x2y2当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为1,则其渐近线方程为bxay0,a2b23bb24由题意得2,即5b24a2,所以,b2a2a25cb2435所以e11,aa255x2y2当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为1,则其渐近线方程为axby0,b2a23ab25由题意得2,即5a24b2,所以,b2a2a24cb253则e11,aa242故选:D.7.已知函数f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)x3x1,则曲线yf(x)在x=1处的切线方程为A.2xy10B.2xy30C.2xy30D.2xy10【答案】选C【解析】因为x<0,f(x)x3x1,f(1)1,又由fx是偶函数,f(1)1,令x0,则f(x)x3x1,根据fx是偶函数,f(x)f(x),得到x0时,f(x)x3x1,所以,x0时,f(x)3x21,f(1)2,故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y12(x1),即2xy30.8.已知一个组合体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()学科网(北京)股份有限公司26A.2π22B.2π22626C.2π2D.2π322【答案】C【分析】先由三视图原几何体,再分别求得各面的面积相加即可得解.【详解】由题知,该三视图对应的几何体的直观图如图所示,其中半圆柱的底面半径为1、高为1,三棱锥OABC中,O在底面ABC的射影O1为AB的中点,BCAB,BC1,∴OAOB2,AC5,因为OO1面ABC,BC面ABC,所以BCOO1,又BCAB,ABOO1O1,AB,OO1面ABO,所以BC面ABO,又OB面ABO,故BCOB,∴OC3,∴AC2OA2OC2,∴OAOC,2111126∴该几何体的表面积为π11π12112121232π2.22222故选:C.119.执行如图所示的程序框图,若随机输入的a0,16,则输出的b,的概率为()4231513A.B.C.D.161624【答案】B学科网(北京)股份有限公司1111【分析】根据b,可得a1,2,再根据循环结构可得当a1,16时均能得到b,,从而可得4242答案.111a1【详解】由框图可得若b,,则2,解得a1,2.42421故当a0,1,满足a2,可得输出b,1;211当a1,2时,满足a2,可得输出b,;4211当a2,4时,不满足a2,此时alog2
理数-四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期期末考试
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