数学-2024年1月“七省联考”考前猜想卷(全解全析)

2024-01-15 · U1 上传 · 17页 · 1.7 M

2024年1月“七省联考考前猜想数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集,,,则(    )A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,则,A错误,,B错误,C正确,或,D错误,故选C.2.已知为复数单位,,则的模为(    )A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】由可得,所以,所以,则,故选B.3.在三角形中,,,,则()A.10 B.12 C.-10 D.-12【答案】A【解析】记,则,,.4.,,则(    )A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得,即,而,所以,故选:A5.在等比数列中,,是方程两根,若,则m的值为(    )A.3 B.9 C. D.【答案】B【解析】因为,是方程两根,所以,即,在等比数列中,,又,所以,因为,所以,所以,故选B.6.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体,中国国家表演艺术的最高殿堂,中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆,其长轴长度约为,短轴长度约为.若直线平行于长轴且的中心到的距离是,则被截得的线段长度约为(    )A. B. C. D.【答案】C【解析】设该椭圆焦点在轴上,以中心为原点,建立直角坐标系,如图所示,设椭圆的方程为:,,由题意可得,,将,代入方程,得,因为直线平行于长轴且的中心到的距离是,令,得(m),故选C.7.“”是“直线与圆相切”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】圆心到直线的距离,所以,即,所以所求直线方程为.“”是“直线与圆相切”的充要条件,故选C.8.设,则(    )A. B.C. D.【答案】D【解析】,令,则,令,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,所以在上单调递增,所以,即,所以.综上,.故选D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.近年来,我国人口老龄化持续加剧,为改善人口结构,保障国民经济可持续发展,国家出台了一系列政策,如2016年起实施全面两孩生育政策,2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图,下列结论正确的是(    )2010至2022年我国新生儿数量折线图A.2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B.2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C.2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【解析】对于A,由折线图可知:2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量(9个)均高于1500万,3个数据低于1400万,根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万,故选项A正确;对于B,由图可知共有13个数据,因为,所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据,由折线图可知,第4个数据为2019年新生儿的数量,其值大于1400万,故选项B错误;对于C,由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势,故选项C正确;对于D,由折线图可知:2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小,所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差,故选项D错误,故选AC.10.已知函数的部分图象如图所示,则(    )A.的最小正周期为B.当时,的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称【答案】ACD【解析】由图可知,,函数的最小正周期,故A正确;由,知,因为,所以,所以,,即,,又,所以,所以,对于B,当时,,所以,所以的值域为,故B错误;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,故C正确;对于D,将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,因为当时,,所以得到的函数图象关于点对称,故D正确.故选ACD.11.如图,在棱长为1的正方体中,P为棱CC1上的动点(点P不与点C,C1重合),过点P作平面分别与棱BC,CD交于M,N两点,若CP=CM=CN,则下列说法正确的是()A.A1C⊥平面B.存在点P,使得AC1∥平面C.存在点P,使得点A1到平面的距离为D.用过点P,M,D1的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】  连接因为,所以=,所以又平面,平面,所以平面同理可证,平面又,、平面,所以平面平面易证⊥平面,所以⊥平面,A正确又平面,所以与平面相交,不存在点P,使得∥平面,B不正确.因为,点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又,所以存在点P,使得点A1到平面的距离为,C正确.因为,所以,所以用过点P,M,D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又,且,所以截面为梯形,D正确故选:ACD12.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线,为坐标原点,一束平行于轴的光线从点射入,经过上的点反射后,再经过上另一点反射后,沿直线射出,经过点,则()A.B.延长交直线于点,则,,三点共线C.D.若平分,则【答案】AB【解析】由题意知,点,,如图:将代入,得,所以,则直线的斜率,则直线的方程为,即,联立,得,解得,,又时,,则所以,所以A选项正确;又,所以C选项错误;又知直线轴,且,则直线的方程为,又,所以直线的方程为,令,解得,即,在直线上,所以,,三点共线,所以B选项正确;设直线的倾斜角为(),斜率为,直线的倾斜角为,若平分,即,即,所以,则,且,解得,又,解得:,所以D选项错误;故选AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.给定条件:①是奇函数;②.写出同时满足①②的一个函数的解析式:.【答案】(答案不唯一)【解析】当时,定义域为,关于原点对称,且,则其为奇函数,又因为,所以满足题意,14.已知的展开式中的常数项为240,则.【答案】3【解析】的展开式的通项,令得,令,无解,所以的展开式中的常数项为,所以.15.为备战巴黎奥运会,某运动项目进行对内大比武,王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼,若王燕获胜的概率为,且每轮比赛都分出胜负,则最终张策获胜的概率为【答案】【解析】①第一局王燕胜,第二局张策胜,第三局张策胜,②第一局张策胜,第二局王燕胜,第三局张策胜,③第一局,第二局张策2胜,∴比赛结束时乙获胜的概率16.四棱锥各顶点都在球心为的球面上,且平面,底面为矩形,,设分别是的中点,则平面截球所得截面的面积为.【答案】【解析】如下图所示,易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同;由题意可知球心为中点,故球O的直径,解得由分别是的中点可得,可得平面;所以球心到平面的距离等于点到平面的距离,设球心到平面的距离为,截面圆的半径为,在三棱锥中,易知平面,且,所以,而,由等体积法得,所以,故截面面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列满足,且点在直线上.(1)求数列的通项公式;(2)数列前项和为,求能使对恒成立的()的最小值.【解析】(1)点在直线上得,---------------------2分所以数列是以首项为,公差为2的等差数列.--------------------3分故,即.---------------------5分(2)---------------------6分所以,---------------------8分要使对恒成立,,即---------------------9分又,所以的最小值为9.--------------------10分18.(本小题满分12分)在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求证:;(2)若的角平分线交BC于,且,求面积的取值范围.【解析】(1)因为,由正弦定理得---------------------2分又,所以---------3分因为为锐角三角形,所以,,又在上单调递增,所以,即;---------------------5分(2)由(1)可知,,所以在中,,由正弦定理得:,所以,---------------------7分所以.---------------------9分又因为为锐角三角形,所以,,,解得,---------------------11分所以,即面积的取值范围为.---------------------12分19.(本小题满分12分)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,目前已被广大消费者所接受.针对这种现状,某公司决定逐月加大直播带货的投入,直播带货金额稳步提升,以下是该公司2023年前5个月的带货金额:月份12345带货金额/万元350440580700880(1)计算变量,的相关系数(结果精确到0.01).(2)求变量,之间的线性回归方程,并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.(3)该公司随机抽取55人进行问卷调查,得到如下不完整的列联表:参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性10总计请填写上表,并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.参考数据:,,,,.参考公式:相关系数,线性回归方程的斜率,截距.附:,其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【解析】(1)-----------------2分(2)因为,,,,-------------------4分所以,,------------------6分所以变量,之间的线性回归方程为,当时,(万元).所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.---------------------8分(3)补全完整的列联表如下.参加过直播带货未参加过直播带货总计女性25530男性151025总计401555---------------------9分零假设:参加直播带货与性别无关,根据以上数据,经计算得到,---------------------11分根据小概率值的独立性检验我们推断不成立,即参加直播带货与性别有关,该判断犯错误的概率不超过.---------------------12分20.(本小题满分12分)如图,三棱柱的底面是等边三角形,,,D,E,F分别为,,的中点.(1)在线段上找一点,使平面,并说明理由;(2)若平面平面,求平面与平面所成二面角的正弦值.【解析】(1)如图所示:当点为的中点时,平面,---------------------1分证明如下:设为中点,连接.因为在三棱柱中,,---------------------2分分别为的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形.所以,---------------------4分又因为平面,平面,所以平面.---------------------5分(2)如图所示:取中点,连接.因为,,所以为正三角形,所以.----------

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