数学-2024年1月“七省联考”考前猜想卷（全解全析）

2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，则，A错误，，B错误，C正确，或，D错误，故选C.2．已知为复数单位，，则的模为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】由可得，所以，所以，则，故选B.3.在三角形中，，，，则（）A．10 B．12 C．-10 D．-12【答案】A【解析】记，则，，.4．，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，而，所以，故选：A5.在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ）A．3 B．9 C． D．【答案】B【解析】因为，是方程两根，所以，即，在等比数列中，，又，所以，因为，所以，所以，故选B.6．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为．若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆的方程为：，，由题意可得，，将，代入方程，得，因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，令，得(m)，故选C．7.“”是“直线与圆相切”的（）A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】圆心到直线的距离，所以，即，所以所求直线方程为．“”是“直线与圆相切”的充要条件，故选C.8．设，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.综上，.故选D二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（    ）2010至2022年我国新生儿数量折线图A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【解析】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，故选AC.10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】ACD【解析】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选ACD．11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面B．存在点P，使得AC1∥平面C．存在点P，使得点A1到平面的距离为D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】  连接因为，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面易证⊥平面，所以⊥平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.因为，点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面为梯形，D正确故选：ACD12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则【答案】AB【解析】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上，所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选AB.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13．给定条件：①是奇函数；②.写出同时满足①②的一个函数的解析式：.【答案】（答案不唯一）【解析】当时，定义域为，关于原点对称，且，则其为奇函数，又因为，所以满足题意，14．已知的展开式中的常数项为240，则．【答案】3【解析】的展开式的通项，令得，令，无解，所以的展开式中的常数项为，所以.15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王燕获胜的概率为，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为【答案】【解析】①第一局王燕胜，第二局张策胜，第三局张策胜，②第一局张策胜，第二局王燕胜，第三局张策胜，③第一局，第二局张策2胜，∴比赛结束时乙获胜的概率16.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为.【答案】【解析】如下图所示，易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；由题意可知球心为中点，故球O的直径，解得由分别是的中点可得，可得平面；所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，在三棱锥中，易知平面，且，所以，而，由等体积法得，所以，故截面面积为．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列满足，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.【解析】（1）点在直线上得，---------------------2分所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．--------------------3分故，即．---------------------5分（2）---------------------6分所以，---------------------8分要使对恒成立，,即---------------------9分又，所以的最小值为9.--------------------10分18.（本小题满分12分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围．【解析】（1）因为，由正弦定理得---------------------2分又，所以---------3分因为为锐角三角形，所以，，又在上单调递增，所以，即；---------------------5分（2）由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，---------------------7分所以．---------------------9分又因为为锐角三角形，所以，，，解得，---------------------11分所以，即面积的取值范围为．---------------------12分19.（本小题满分12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份12345带货金额/万元350440580700880（1）计算变量，的相关系数（结果精确到0.01）．（2）求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性10总计请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．参考数据：，，，，．参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【解析】（1）-----------------2分（2）因为，，，，-------------------4分所以，，------------------6分所以变量，之间的线性回归方程为，当时，（万元）．所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．---------------------8分（3）补全完整的列联表如下．参加过直播带货未参加过直播带货总计女性25530男性151025总计401555---------------------9分零假设：参加直播带货与性别无关，根据以上数据，经计算得到，---------------------11分根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率不超过.---------------------12分20.（本小题满分12分）如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）在线段上找一点，使平面，并说明理由；（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.【解析】（1）如图所示：当点为的中点时，平面，---------------------1分证明如下：设为中点，连接.因为在三棱柱中，，---------------------2分分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形.所以，---------------------4分又因为平面，平面，所以平面.---------------------5分（2）如图所示：取中点，连接.因为，，所以为正三角形，所以.----------