2024年1月“七省联考”考前押题预测卷03(解析版)(新高考地区专用)

2024-01-08 · U1 上传 · 16页 · 1.2 M

2024年1月“七省联考”押题预测卷03数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,,所以.故选:D.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得:当时,,充分性成立;当时,,必要性不成立;所以当,是的充分不必要条件.故选:A.3.已知非零向量,满足,,若,则向量在向量方向上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以,∴,又,所以,∴或(舍去),所以,所以在方向上的投影向量为.故选:A4.形如我们称为“二阶行列式”,规定运算,若在复平面上的一个点A对应复数为,其中复数满足,则点A在复平面内对应坐标为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得:,则,所以点A在复平面内对应坐标为.故选:A.5.已知圆,圆,下列直线中不能与圆,同时相切的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知:,所以圆的圆心为,半径为1;圆的圆心为,半径为2,对于A,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故满足相切条件,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故也满足相切条件,即直线是两圆的一条公切线;对于B,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故满足相切条件,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故也满足相切条件,即直线是两圆的一条公切线;对于C,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故满足相切条件,圆的圆心到直线的距离为,与半径相等,故也满足相切条件,即直线是两圆的一条公切线;对于D,圆的圆心到直线的距离为,不满足相切条件,即直线不可能是两圆的公切线;故选:D.6.若函数在内恰好存在4个,使得,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】令,则或,即或故可取,由于,则,要使在内恰好存在4个,使得,则,解得,故选:B7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则棉滤芯的层数最少为(参考数据:,)()A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为,则,令,解得,两边取常用对数得,即即,因为,,所以,解得,因为,所以的最小值为9.故选:A8.设,,,则a,b,c的大小关系为().A. B. C. D.【答案】D【解析】设,作出单位圆,与轴交于点,则,过点作垂直于轴,交射线于点,连接,过点作⊥轴于点,由三角函数定义可知,,,设扇形的面积为,则,即,故,因为,所以,又,由得,即,令,,则,当时,,故在上单调递减,所以,所以,故,综上,.故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.已知随机变量服从二项分布:,设,则的方差B.数据的第60百分位数为9C.若样本数据的平均数为2,则的平均数为8D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体,则每个个体被抽到的概率都是【答案】BC【解析】对于A,易知,而,所以,A错误;对于B,共有7个数据,而,故第60百分位数为9,B正确;对于C,若样本数据的平均数为2,则的平均数为,C正确;对于D,由古典概型可知:从51个体中抽取2个个体,每个个体被抽到的概率都是,错误.故选:BC10.在正四棱台中,,,则()A.该正四棱台的体积为B.直线与底面所成的角为60°C.线段的长为10D.以为球心,且表面积为的球与底面相切【答案】BD【解析】连接,,过作,垂足为.因为,,所以,,所以,,所以该正四棱台的体积,A错误.直线与底面所成的角为,由,所以,B正确.,C错误设以为球心,且表面积为的球的半径为,则,解得,所以以为球心,且表面积为的球与底面相切,D正确.故选:BD.11.已知双曲线,直线l:与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于,两点.当点M变化时,点之变化.则下列结论中正确的是()A. B.C.点坐标可以是 D.有最大值【答案】ACD【解析】对于A,联立消y可得,直线与双曲线只有一个公共点,且,则,∴,∴,即选项A正确;对于B,由方程可得,则,∴,则的直线方程为,令,,令,,所以,即B错误;对于C,则易知,若,则,,取,,即,所以C正确;对于D,可得,当且仅当时,等号成立,即D正确;故选:ACD12.已知函数,的定义域均为R,它们的导函数分别为,,且,,若是偶函数,则下列正确的是().A.B.的最小正周期为4C.是奇函数D.,则【答案】ABD【解析】A选项,为偶函数,故,两边求导得,,令得,解得,A正确;B选项,因为,,所以①,因为,所以②,则①②相减得,③,又④,则③④相减得,即,又,故的最小正周期为4,B正确;C选项,假如为奇函数,则,当时,可得,但,当可得,显然不满足要求,故不是奇函数,C错误;D选项,因为,所以,又,故,由B选项得,故,解得,且,由B选项知的一个周期为4,故,所以,则,D正确.故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式的展开式中,所有项系数和为,则的系数为______(用数字作答).【答案】【解析】令可得二项式的所有项系数和为,所以.二项式的展开式的通项公式为,,1,…,8,所以的展开式中,的系数为.故答案为:14.随机变量有3个不同的取值,且其分布列如下:则最小值为______.【答案】【解析】依题意知,则,则,设,则,故,所以,当时,取最小值,故答案为:15.已知数列满足,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】由,当时,,当时,由得,两式相减并化简得,也符合上式,所以,令,为常数,所以数列是等差数列,首项,所以,对称轴为,由于对任意的恒成立,所以,解得,所以的取值范围是.故答案为:16.已知正实数x,y满足,则的最小值为______.【答案】##【解析】由得,即,设,则,,当时,,所以在上单调递增.因为x,y均为正实数,所以,由,可得,即.由知,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以.则.令,则,所以在上单调递减,所以,所以,即的最小值为.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求C;(2)若,,点D在边AB上,且,求CD的长.【答案】(1)(2)【解析】(1)由已知借助正弦定理可得:,即,即,,故;(2)由余弦定理知,∴,由知,,即.18.已知数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为,时,,两式相减得,,,,,相乘得,所以,当时符合上式,所以;(2),当为奇数时,.19.如图,直三棱柱中,为等腰直角三角形,,E,F分别是棱上的点,平面平面,M是的中点.(1)证明:平面;(2)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)过F作交于,因为平面平面,平面平面,平面,则,平面,为中点,且,,又平面,平面,,又平面,,平面,,平面,平面,平面.(2),可确定一平面,,平面,平面平面,平面,平面平面,,四边形为平行四边形,以为x,y,z轴建系,则,设为平面的法向量,,则,即,令,则,是平面的一个法向量,为平面的一个法向量,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.在一个抽奖游戏中,主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱,在打开2号箱之前,主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则,主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.(1)计算主持人打开4号箱的概率;(2)当主持人打开4号箱后,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会,请问他是坚持选2号箱,还是改选1号或3号箱?(以获得奖品的概率最大为决策依据)【答案】(1)(2)甲应该改选1号或3号箱.【解析】(1)设分别表示1,2,3,4号箱子里有奖品,设分别表示主持人打开号箱子,则,且两两互斥.由题意可知,事件的概率都是,,,,.由全概率公式,得.(2)在主持人打开4号箱的条件下,1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为,,,通过概率大小比较,甲应该改选1号或3号箱.21.已知椭圆E:,椭圆上有四个动点A,B,C,D,,AD与BC相交于P点.如图所示.(1)当A,B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时,试探究:直线AD与BC的斜率之积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请说明理由;(2)若点P的坐标为,求直线AB的斜率.【答案】(1)是定值,定值为(2)【解析】(1)由题意知,,,所以,,所以,设直线CD的方程为,设,,联立直线CD与椭圆的方程,整理得,由,解得,且,则,,所以,故直线AD与BC的斜率之积是定值,且定值为.(2)设,,,记(),得.所以.又A,D均在椭圆上,所以,化简得,因为,所以,同理可得,即直线AB:,所以AB的斜率为.22.已知函数,.(1)当时,求证:;(2)当时,恒成立,求实数取值范围;(3)已知,证明:.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【解析】(1)当时,∵,∴,令得,或(舍)当,,单调递减;当,,单调递增∴当时,即,∴(2)令(),则.当时,,则函数在上单调递增,当时,,则函数在上单调递减,所以,,即,所以,当时,,即,当时,取,由于,而,得,故,不合乎题意.综上所述,.(3)当时,由(1)可得,则,可得,即,即(),令,所以,,所以,,即(),所以,,,令(),则,且不恒为零,所以,函数在上单调递增,故,则(),所以,,,所以,.

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