陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三上学期12月联考 理数答案

2023-12-08 · U1 上传 · 8页 · 577.1 K

2024届高三联考数学(理科)参考答案一.选择题:题号123456789101112答案CBACCABBDACD二、填空题2213.14.315.ann=+2116.4l+n2三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)2设函数fxxx()cos(2)sin=++224(1)求函数fx()在区间[-,]上的最大值和最小值;1231(2)设函数gx()对任意xR,有gxgx()()+=,且当x[0,]时,gxfx()()=−;222求函数在[,0−]上的解析式.2f(x)=cos(2x+)+sin2x2421−cos2x11=(cos2xcos-sin2xsin)+=−sin2x+解析:(1)由已知244222..........2分2x[-,]2x[-,]又因为123则631sin2x[-,]13所以2,即f(x)=f(-)=,f(x)=f()=0min124max43所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0...........6分4(2)由可知函数最小正周期为2,理科1{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}1gx()xsin=2x[0,]又由(1)可知2(2).........7分11x−[0],x+[0,]gxxx()sin+=+=2()sin−2当2时,22则222211gx()g(x)+=gxxx()sin=+=2()sin−2由2知222..........9分11x−[,−)x+[0,)gxxx()sin+=+=2()sin2当2时,2则221g(x)=sin2x由g()()x+=gx知2..........11分1−−sin2(0)xx22gx()=1sin2()xx−−综上,22..........12分18.(本小题满分12分)2023年10月17日至18日,第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为28.50mm的一种零件,为了了解零件的生产质量,在某次抽检中,从该厂的1000个零件中抽出50个,测得其内径尺寸(单位:mm)如下:28.518,28.526,28.504,28.481128.49p,28.541,28.537,28.47q这里用xn表示有n个尺寸为xmm的零件,pq,均为正整数.若从这50个零件中随机抽取1个,则这8个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为.25(1)求pq,的值.(2)已知这50个零件内径尺寸的平均数为xmm,标准差为smm,且s=0.02,在某次抽检中,若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在x−+s,xs内,则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格?说明你的理由.理科2{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}864111750,+++++++=pqp=8,解:(1)依题意可得11+q8解得..........5分=,q=5.5250(2)将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为10.01+++80.026040.02110.0180.04−+−+(++−=)10.0370.0350()(),50所以x=+=028.5028.50,..........7分所以x−=+=sxs28.48,28.52,所以这60个零件内径尺寸在xs−+xs,内的个数为50-1-7-5=37...........10分3740因为=0.8,所以这次抽检的零件不合格...........12分505019.(本小题满分12分)如图,在底面ABCD为矩形的四棱锥PA−BCD中,平面PAD⊥平面PCD.(1)证明:AB⊥平面PAD(2)若PB=10,PD=32,AD=3,AB=1,E在棱AD上,且ADAE=3,求PE与平面PBD所成角的正弦值.解:(1)过点A作AH⊥PD垂足为H∵平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD又AH面PAD,AH⊥PD∴AH⊥平面PCD.…3分又∵CD平面PCD∴AH⊥CD∵AB//CD∴AB⊥AH∵AB⊥AD,AH∩AD=A∴AB⊥平面PAD..........6分(2)由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA理科3{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}∴在Rt三角形PAB中,∠PAB=90°,PB=10,AB=1∴PA=3在△PAD中,PA=3,AD=3,PD=32,由勾股定理逆定理可知PA⊥AD,又∵AB⊥PA,AB⊥AD……………8分以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP方向为X轴Y轴Z轴建立坐标系如图所示则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,3,0),P(0,0,3),E(0,1,0),∴PBPDPE===(1,0,-3)(0,3,-3),(0,1,-3),设平面PBD的法向量为,则,即可知n=(x,y,z)n=PD0xz−=30n=(3,1,1)3yz−=30n=PB0PEPBD设与平面所成角为θ,则2110sin|cos,|===PEn111055∴与平面所成角的正弦值为110...........12分5520.(本小题满分12分)x2已知抛物线C:y2(0)2=pxp的准线与椭圆+=y21相交所得线段长为3.4(1)求抛物线C的方程;(2)设圆M过A(2,0),且圆心M在抛物线C上,BD是圆M在y轴上截得的弦.当M在抛物线C上运动时,弦BD的长是否有定值?说明理由;(3)过F(1,0)作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、H、R、S,求四边形GRHS的面积最小值.p3解:(1)由已知,抛物线C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是(,)−,把代入椭圆22p23方程化简得+=1,解得p=2164所以抛物线C的方程为yx2=4...........4分(2)假设M在抛物线C上运动时弦长有定值,理由如下理科4{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}设Mx(,y)00在抛物线C上,可知到y轴距离为||x022根据圆的弦长公式可知:BDx=−2|MA|||02222由已知:|MA|=+(-2)xy00,yx00=422222所以BDxxxyx=−=−++−=2|MA|||244400000则M在抛物线C上运动时弦BD的长的定值为4...........8分(3)设过F的直线方程为yk=−x(1),G(x1,,,y1)H(x2y2)yk=−x(1)24k2+42222,由2得kxkxk−++=(24)0得xx12+=2则GHxx=++=+24122yx=4kk同理得RSk=+4421141所以,四边形GRHS的面积TGHRSkk==++=++(4)(44)8(1)322222kk22即四边形的面积的最小值为32...........12分21.(本小题满分12分)1已知函数fxxax()ln=−+.x(1)讨论fx()的单调性;fxfx(12)−()(2)若fx()存在两个极值点xx12,,证明:−a2.xx12−11axax2−+fx()1=−−+=22−解:(1)fx()的定义域为(0,)+,xxx...........2分2(i)=−a40时,即−22a时,fx()0,当且仅当a=2,x=1时fx()0=,所以在单调递减.2(ii)=a−40时,即a2或a−2时①若,在(0,+)上fx()0所以在单调递减.aa−−24aa+−24x=x=②若a2时,令fx()=0得,2或2.理科5{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}aaaa−−+−2244x+(0,)(,)当22时,fx()0;aaaa−−+−2244x(,)当22时,fx()0.aaaa−−+−2244(0,),(,)+所以fx()在22单调递减,a−a22−44a+a−(,)在22单调递增.综上,若a2时,在(0,)+单调递减.若a2时,在单调递减,在单调递增...........6分(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.xx,2xx=1由于的两个极值点12满足xax−+=10,所以12,xxx1不妨设12,则2.由于f(x)−f(x)1lnx−lnxlnx−lnx−2lnx12=−−1+aaa12=−2+12=−2+2x−xxxx−xx−x112121212−xx22,f()()x−fx112−a2−xx+2ln0xx−x22所以12等价于2.1g(x)=−x+2lnx设函数x,由(1)知,gx()在单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,gx()0.所以,即...........12分请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程理科6{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}x=3cos()为参数在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,以坐标原点为极点,以x轴的正半1y=sin轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin(+=)22.24(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程x2解:(1)C的普通方程为+=y21,C的直角坐标方程为xy+−40=...........5分132(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin),因为是直线,所以||PQ的最小值,即为到的距离d()的最小值,|3cossin4+−|d()2|==+−sin()2|...........8分23当且仅当=+2()kkZ时,取得最小值,最小值为2,631此时的直角坐标为(,)...........10分2223.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数fxxaa()|2|=−+(1)当a=2时,求不等式fx()6的解集;(2)设函数gxx()|21|,=−当xR时,fxgx()()3+,求a的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲解:(1)当a=2时,fxx()|=−+22|2.解不等式|2x−2|+26,得−13x.因此,fx()6的解集为{xx|−13}...........5分(2)当xR时,f()()xg+=−+xx|2||1aax+−2||2x−a+1−2x|+a=|1−aa|+,理科7{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}1当x=时等号成立,2所以当xR时,fx(g)(x)+3等价于|1|−3+aa.①..........7分当a1时,①等价于13−aa+,无解.当a1时,①等价于aa−+13,解得a2.所以a的取值范围是[2,)+...........10分理科8{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}

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