江苏省淮安市2023-2024学年高三上学期开学调研数学试题

2023-11-12 · U1 上传 · 10页 · 682.8 K

2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题总分:150分时间:120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将答题卡交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则()A.B.C.D.2.“”是“函数是奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.己知长方形ABCD的边,E为BC的中点,则()A.B.14C.D.184.谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形是一种分形,它的构造方法如下:取一个实心等边三角形(如图1),沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形,挖去中间小三角形(如图2),对剩下的三个小三角形继续以上操作(如图3),按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4被挖去的三角形面积之和是()图1图2图3图4A.B.C.D.5.某个弹簧振子做简谐运动,已知在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:)与位移y(单位:)之间满足函数关系:,则这个简谐运动的振幅是()A.B.C.D.6.函数与直线相切,则实数a的值为()A.1B.2C.eD.7.球M是圆锥SO的内切球,若球M的半径为1,则圆锥SO体积的最小值为()A.B.C.D.8.己知函数及其导函数的定义域均为,且满足,,,若,则()A.B.C.88D.90二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节,是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径.某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况,通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本,对学生某一天社会实践的时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.己知样本中的人数为20人,则以下说法正确的是()A.B.C.估计该样本数据的平均数为74D.估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人10.若,曲线C的方程为,则()A.当时,曲线C表示圆B.当时,曲线C表示两条直线C.当时,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆D.当时,曲线C表示焦点在y轴上的双曲线11.设是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题正确的有()A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么12.设函数,对于任意给定的实数K,定义函数,则下列结论正确的有()A.函数的零点有3个B.,使C.若,则D.若存在最大值,则三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的值为___________.14.在我国长江中下游地区,每年的6月中下旬到7月中旬为梅雨季节,这段时间阴雨天气较多.这个地区的一个市级监测资料表明,该市一天为阴雨天气的概率是0.8,连续两天为阴雨天气的概率是0.72,己知某天为阴雨天气,则随后一天也为阴雨天气的概率是___________.15.定义在上的函数的导函数为,当时,,且,则不等式的解集为___________.16.椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为A,直线与椭圆C交于另一点B,若,则椭圆C的离心率为___________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点,.(1)若的面积,求a;(2)若D为的角平分线与边BC的交点,,求a,18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,,将沿BD折起到的位置,使.(1)求证:平面平面ABD;(2)求直线AB与平面PAD所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)己知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)求证:当时,.20.(本小题满分12分)已知等差数列的前n项和为,.数列的前n项和为,,.(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的最大项.21.(本小题满分12分)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏:在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品,每个箱子中放入的奖品个数满足,每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定:当箱子中奖品的个数超过3个时,可以从该箱中取走一个奖品,否则从该箱中不取奖品.每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品,4个箱子都取完后该同学结束游戏.甲、乙两人依次参与该游戏.(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率;(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为X,求X的概率分布与数学期望;(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y,求Y的数学期望.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若,函数有两个极小值点,求实数a的取值范围;(2)若,求证:.2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.C8.B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。9.ABC10.AB11.BC12.BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.14.0.915.16.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),2分因为,所以,则,所以.4分解法二:的高,2分所以,则.4分(2)因为AD是的角平分线,所以,设,则.在中,因为,所以,6分由内角和定理,,所以.8分在中,由正弦定理得,则.10分18.(1)证明:如图,取BD中点O,连接OA,OP.因为四边形ABCD是边长为2的菱形,,所以、是边长为2的正三角形,因为O是BD中点,所以,2分因为,所以,同理可得,因为,所以,则,由二面角定义可得平面平面ABD.5分或:又因为,平面ABD,,所以平面ABD,因为,所以平面平面ABD.5分(2)以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,7分设平面PAD的一个法向量为,由得,令得,则,10分设直线AB与平面PAD所成的角为,则.所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为.12分注:第二问用等积法、综合法等方法解答同样给分.19.(1)因为,所以.1分①当时,在单调递减;3分②当时,由得,由得,所以在上单调递减,在上单调递增.综上,当时,在单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.6分(2)当时,,要证明,只要证,即证,8分设,则,令得,列表得a10极小值所以,即,所以.12分20.(1)设等差数列的首项为,公差为d,11分则,所以,所以.3分因为,当时,,则,所以;4分当时,,所以,则构成首项为1,公比为2的等比数列,所以.(2)因为,所以,7分当时,,因为在时单调递减,所以,所以,当时,,即,所以,11分所以数列的最大项为.12分注:第二问解方程组得,结合得最大项为同样给分.21.(1)因为每个箱子中放入的奖品个数满足,所以,则,所以的概率分布为:12345P2分设事件A为甲能从1号箱子中取走一个奖品,则,所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为4分(2),因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为,所以,所以,,X的概率分布为:X01234P8分所以X的数学期望为.或.9分(3)乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品,即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为,所以,所以Y的数学期望为.12分22.(1)因为所以,令得,则在上单调递减,在上单调递增,所以.①当,即时,在上单调递增,因为,所以使得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以仅有一个极小值点,不合题意.2分②当,即时,.设,则,所以在上单调递减,则.当时,,所以,因为,所以,则;当时,,所以,则,所以.因为在上单调递减,在上单调递增,所以,使,所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增.4分因为有两个极小值点,所以为的极小值点,且时,为的极小值点,所以,即,则,所以,此时,在上单调递减,上单调递增,上单调递减,上单调递增,所以,在及处取得极小值,实数a的取值范围是.6分(2)因为,所以.则,即,因为,则,8分令,则,令,则,所以在单调递增,因为,所以使得,所以在单调递减,单调递增,10分又,所以,即.12分

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