江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期开学检测数学试题

2023~2024学年度第一学期开学检测高三数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若，则的最小值为（    ）A． B． C．1 D．23．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．4．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．函数在的图象大致为（    ）          ABCD6．若，则（    ）A． B．C． D．7．已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（    ）A． B． C．3 D．48．若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．下面命题正确的是（    ）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．“且”是“”的必要不充分条件10．下列命题中正确的是（    ）A．的最小值是2B．当时，的最小值是3C．当时，的最大值是5D．若正数x，y满足，则的最小值为311．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（    ）A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点C．当，有2个零点 D．当时，有7个零点12．已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（    ）A．在上有极小值 B．的最小值为C．在上单调递增 D．的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数，则定义域是．14．已知关于的不等式的解集为，则.15．若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是.16．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）计算：(1)；(2)．18．（本小题满分12分）已知函数是定义域为R的偶函数．(1)求实数的值；(2)若对任意，都有成立，求实数k的取值范围．19．（本小题满分12分）已知集合，，命题，命题．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：对任意的．21．（本小题满分12分）已知函数．(1)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；(2)若在区间上有极小值，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若方程有解，求实数a的取值范围．高三数学参考答案1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B9．BC 10．BCD 11．ABD 12．ACD13． 14．16 15．或 16．12【11详解】令，则，设，则等价于，对于A，当时，作出函数的图象如图：      由图象可知有一个根，则对于，由图，共有1个解，A正确；对于B，当时，，作出函数的图象如图：    由图象可知有一个根，则对于，由图，共有3个解，B正确；对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；对于D，当时，，作出函数的图象如图：      由图象可知有3个根，或，则对于，由图，共有3个解；对于，由图，共3个解；对于，由图，共1个解，故此时函数有7个零点，D正确；【12详解】因为函数及其导函数满足，则，即，令（为常数），所以，，因为，可得，所以，，对于A选项，易得时达到极小值；A对对于B选项，，B错；对于C选项，当时，，所以在上单调递增，C对；对于D选项，，令，可得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，，D对.【15详解】，设切点，则切线的斜率为，故切线方程为，取，代入，得，∵，∴有两个不等实根，故，解之，得或，【16详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）．所以.17．（1）.（2）.18．【详解】（1）由偶函数定义知：，即，∴对成立，.（2）由（1）得：；∵，∴，当且仅当即时等号成立，∴，∴，即，解得：或，综上，实数的取值范围为.19．【详解】（1），且，∴，解得.即实数的取值范围是.（2），得或，由，得，，是的充分不必要条件，∴是的真子集，所以（等号不能同时取得），解得，又或，所以.实数的取值范围是.20．【详解】（1）由题可知函数的定义域为∴f'x=2x+1−1x=2x2+x−1x=2x−1x+1x令f'x<0得:00得:x>12所以，在上单调递减，上单调递增.（2）要证明，只需证明：，解法一：证明，再说明等号不同时取到。解法二：令，设，，即单调递增，又∵，，∴函数有唯一的零点且，满足，    当变化时，与的变化情况如下，0↘极小值↗所以，因为，∵，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，所以，对成立.21．【详解】（1）∵，∴，由题可知，，即在上有解，即在上有解∵在上递减，∴，∴，故实数的取值范围是.（2）由，即，解得，∴当或时，，当时，，∴在上递增，在上递减，∴在处取得极小值，∴，即，当时，不等式成立：当时，解得，综上，.22．【详解】（1）当时，，，设，则，∵在上单调递增，且，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴；（2）即，即，设，则，，设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即，在上单调递增，所以方程有解即在上有解，有解，即有解，设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是．