精品解析：2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）（解析版）

2021年兰州市初中学业水平考试数学（A）一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．1.若，则的余角为（）A30° B.40° C.50° D.140°【答案】C【解析】【分析】根据余角的定义，90°减去即可求得的余角．【详解】，的余角为．故选C．【点睛】本题考查了求一个角的余角，理解余角的定义是解题的关键．若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．2.如图，该几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置几何体判断出主视图图形即可．【详解】从正面看所得到的图形为故选【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．3.计算：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘以多项式运算法则计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练运用运算法则是解本题的关键．4.关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，并表示出数轴上即可．【详解】解得将表示在数轴上，如图故选B【点睛】本题考查了解一元一次不等式，并将不等式的解集表示在数轴上，数形结合是解题的关键．5.因式分解：（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可．【详解】故选C．【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解方法是解题的关键．6.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【详解】解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），故选：D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，明确关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键7.二次函数的图象的对称轴是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：．二次函数的图象的对称轴是．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．8.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的小正方体，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，所以所求概率为．故选：B．【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线的性质得出，然后根据反比例函数的几何意义得解．【详解】解：∵点C是OB的中点，的面积为2，∴,∵轴于点，∴,∴,∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数的几何意义是解本题的关键．10.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（）mmA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得，且∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．11.如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（）A.12 B.13 C.24 D.25【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得．【详解】菱形的对角线互相垂直平分，个直角三角形全等；，，，四边形是正方形，又正方形面积为13，正方形的边长为，根据勾股定理，则，中间空白处的四边形的面积为1，个直角三角形的面积为，，，，．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键．12.如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（）A.4 B.3 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据，，，即可求得．【详解】四边形是菱形，,，，是等边三角形，，，，，，，，即，，．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．13.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升记作，则下降记作______．【答案】-2【解析】【分析】根据正负数的意义即可解答．【详解】解：下降记作-2m．故答案为：-2【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．14.将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．【答案】①.②.③.内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．【详解】解：一副三角板如图摆放，∴，∴（内错角相等，两直线平行），故答案为：；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．15.如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．【答案】108【解析】【分析】根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．【详解】解得．故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．16.如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．【答案】【解析】【分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=．【详解】由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，=45°，BQ=AB=1，在中，，AD∥BQ，，即，解得OQ=，OG=OQ+QG=．【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算．三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质进行乘法运算后，再化为最简二次根式进行合并同类项即可．【详解】===．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质及其运算法则是解题的关键．18.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可．【详解】．当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．19.解方程：x2+4x﹣1=0．【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【解析】【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【详解】方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣20.如图，点，在线段上，，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由可得，，进而根据AAS证明，即可证明．【详解】，，在与中，（AAS），．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．21.如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积．【答案】（1），；（2）12．【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式；（2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积；【详解】解：（1）∵，在函数的图象上，∴m=5，∴A(-2，5)，把A(-2，5)代入得：，∴b=4，∴一次函数的表达式为：，∵在函数的图象上，∴n=2，∴，把代入得：2=，∴k=8，∴反比例函数的解析式为：；（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：，∴当x=0时，y=4，∴点C（0，4），即OC=4，∵A(-2，5)，，∴=×4×2+×4×4=12；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键．22.避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）【答案】【解析】【分析】根据，然后根据即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，即，解得：m，∵，∴，即，解得：m，∴m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．23.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发______分钟追上小军；（2）求所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．【答案】（1）6；（2）；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【解析】【分析】（1）由图像可知，，的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发6分钟后追上小军；（2）设所在直线对应的函数表达式为，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式，得；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，通过所在直线对应的函数表达式，可知，观光车到达观景点的时间为，因此观光车比小军早到达观景点．【详解】解：（1）由图像可知，在21min时，，相交于一点，表示在21min时，小军和观光车到达了同一高度，此时观光车追上了小军,观光车是在15min时出发,∴,∴观光车出发6分钟后追上小军；（2）设所在直线对应的函数表达式为，由图像可知，直线分别经过（15,0）和（21,1800）两点，将两点带入函数表达式得：解得：∴函数表达式为；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间