上海市2021年中考数学真题（解析版）

上海市2021年中考数学试题一、选择题1.下列实数中，有理数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A、∵是无理数，故是无理数B、∵是无理数，故是无理数C、有理数D、∵是无理数，故是无理数故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键2.下列单项式中，的同类项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴不是的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，∴是的同类项，符合题意；∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴不是的同类项，不符合题意；∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴不是的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．3.将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变 B.对称轴不变 C.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A./包 B./包 C./包 D./包【答案】A【解析】【分析】选择人数最多的包装是最合适的．【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故选：A．【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．5.如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点，∴故选A．【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．6.如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内 B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内 D.点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【解析】【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，∴点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题7.计算：_____________．【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【详解】∵,故答案为:．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．8.已知，那么__________．【答案】．【解析】【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．9.已知，则___________．【答案】5【解析】【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．【详解】解：，两边同平方，得，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案：5．【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．10.不等式的解集是_______．【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】故答案为：．【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．11.的余角是__________．【答案】【解析】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】的余角是90°-=故答案为：．【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．12.若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．【详解】解：关于x的一元二次方程无解，∵，，，∴，解得，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.有数据，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据概率公式计算即可【详解】根据概率公式，得偶数的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．14.已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．【答案】（且即可）【解析】【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，∴k<0，当经过时，k=-1，由题意函数不经过，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．【答案】【解析】【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式：，解得∴令，则∴利润=【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．16.如图，已知，则_________．【答案】【解析】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD∵∴△ABD和△BCD等高，高均为AE∴∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴∴故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键17.六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．【答案】．【解析】【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．∴点O与正方形边上的所有点的连线中，最小，等于1，最大，等于．∵，∴点P与正方形边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在上时，最小值．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．三、解答题19.计算：【答案】2【解析】【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】解：，=，=，=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．20.解方程组：【答案】和【解析】【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出．【详解】解：由题意：，由方程(1)得到：，再代入方程(2)中：得到：，进一步整理为：或，解得，，再回代方程(1)中，解得对应的，，故方程组的解为：和．【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可．21.已知在中，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．【详解】（1）∵，∴∴AB=10∴=；（2）过点F作FG⊥BD，∵为边上的中线．∴FAD中点∵FG⊥BD，∴∴FG是△ACD的中位线∴FG=3CG=∴在Rt△BFG中，=．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．22.现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．【答案】（1）36万部；（2）100/秒【解析】【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影，比要快190秒列方程求解．【详解】（1）3月份的百分比=三月份共生产的手机数=（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，由题意可知：解得：检验：当时，∴是原分式方程的解．答：手机的下载速度为100/秒．【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．23.已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．（1）求证：；（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由，可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．【详解】证明：（1）连结，∵M、N分别是和的