高考数学专题7 圆锥曲线压轴小题（解析版）

专题7圆锥曲线压轴小题一、单选题1．（2021·河北沧州·高三月考）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，若，则，，，所以；若，则，，，所以；若且，此时且，，所以，因为,所以，则，当且仅当时取“=”，而，所以.综上：的最大值为.故选：B.【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.2．（2021·安徽马鞍山·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，，又，则故渐近线斜率的平方为故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．4．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根据题意求得，得到，设过点与圆相切直线的斜率为，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组，取得，得到，结合，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，所以抛物线的方程为，又由，可得圆心坐标为，半径，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得方程为，即，即，则圆心到直线的距离为，整理得，可得，联立方程组，可得，即，所以，所以，因为直线的倾斜角为，所以可得，解得或.故选：C.5．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，记的斜率为，且满足，若分别是轴､轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据求出，根据四边形的面积结合基本不等式可求.【详解】由题意知：，直线的方程为，联立方程可得，因为是其中一个解，则另一个解满足，即，所以，则可得的中点，则，因为，所以，解得，则即，设，则由四边形的面积为2，有，即，由基本不等式得，，从而三角形的面积，等号当，时取到.所以三角形面积的最大值为.故选：A.6．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线与直线夹角与直线与直线的夹角相等，则点所在轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；故选：D7．（2021·吉林白山·高三期末（文））已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（）A．B．的离心率为C．若，则的面积为2D．若的面积为，则为钝角三角形【答案】D【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；设P在双曲线的右支上，记则，利用，转化求解三角形的面积，判断C；设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D.【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则，且，两式相减得，所以，因为，所以，故双曲线C的渐近线方程因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上,记则因为,所以解得或(舍去）,所以的面积为，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，将带入C：，得，即由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，因为所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D8．（2021·全国·高三专题练习）已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A． B． C． D．π【答案】C【分析】根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.【详解】由题意，在平面BCD内作BQ⊥CD，交CD于Q，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD与平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题意知随着点D的变化，∠BCD的范围为，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的圆的，即得点P的轨迹长度为.故选：C.9．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】先利用双曲线的离心率得到，写出直线的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.【详解】由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，，焦点坐标为，则，则，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.则.故选：B.10．（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.11．（2021·全国·高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，，垂足分别为，，且与轴交于点，作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可【详解】如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，作，，垂足分别为，.设，则，，故.因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.因为为的中点，且轴，所以为的中点，即.因为，所以，所以，所以，故.故选：C12．（2021·河南·高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.【点睛】关键点点睛：设点M坐标及，的倾斜角，由与直线，的倾斜角的数量关系，结合差角正切公式及基本不等式求关于椭圆参数的表达式，进而确定椭圆参数的数量关系.13．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件及双曲线的定义可得，，将△MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.【详解】∵，，∴，，将△MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，设，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，当且仅当，时等号成立.∴F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.故选：B【点睛】关键点点睛：由双曲线的定义求、，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求与的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.14．（2021·浙江金华·高三月考）已知椭圆和直线，点A，B在直线l上，射线分别交椭圆C于M，N两点．则当面积取到最大值时，是（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．都有可能【答案】A【分析】设出直线及的方程，求出点，的坐标，进而表示出，分析可知当，异号时，最大，通过换元，利用基本不等式可得当时，最大，进而得到，由此即可得出答案．【详解】解：设直线的方程为，直线的方程为，易知点，，易知，当，异号时，最大，不妨设，，令，，则，当且仅当，即时取等号，，为锐角．故选：．15．（2021·安徽·合肥市第六中学高三开学考试（理））已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可【详解】设圆与的三边的切点分别为，如图，令，，，根据双曲线的定义可得，化简得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；故选：B【点睛】关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算16．（2021·山西大附中高三月考（文））已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的