高考数学专题02椭圆的焦点三角形——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型（解析版）

椭圆必会十大基本题型讲与练02椭圆的焦点三角形典例分析一、焦点三角形的面积问题1．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】看问题：求的面积（属于求值问题）想方法：求三角形面积的基本方法：（1）；（2）；（3）为内切圆半径；（4）割补思想。看条件：已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，q取最大值时，，定措施：把边当作的底，当q取最大值时，的高为b,故用。【详解】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为故选：B.2、设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.【答案】【解析】依题意，，所以，则，而，所以.由于，，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.3、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为。【答案】eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.．【解析】由题意，设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝eq\r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq\f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×m×eq\r(3)m＝eq\f(2\r(3),3)，解得m＝eq\f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq\r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq\r(3)，解得c＝1，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，则椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.4．已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，椭圆C的另一个焦点是，且.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆：，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F1AB的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出点坐标，根据可求出，点坐标代入椭圆标准方程可求得答案；由可得到，当圆P的半径最长时，其方程为，l与x轴的交点为Q，由直线与圆相切得到直线的斜率，再根据弦长公式和三角形的面积公式可得答案.【详解】（1）设椭圆方程（），点M在直线上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，则点..即，，所以，又，解得，椭圆C的方程为.（2）设动圆P的半径为R，点P的坐标为，，，由已知，得，当且仅当圆P的圆心为时，.所以当圆P的半径最长时，其方程为，因为直线l是圆P和圆的外公切线，所以直线l的倾斜角不为且不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得，设l：，由l与圆相切得，解得.当时，将代入并整理得，，解得，所以，当时，由图形的对称性可知.又点F1到直线l的距离，所以三角形F1AB的面积为.二、焦点三角形的周长问题1．已知椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)【答案】C【解析】PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，又△PF2Q的周长为36，所以4a＝36，a＝9.由已知eq\f(b2,a)＝5，即eq\f(a2－c2,a)＝5，又a＝9，解得c＝6，因此eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，即e＝eq\f(2,3).2.已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意,椭圆的短轴长为,离心率为,所以,,则,所以,所以的周长为.3、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】由椭圆的定义知,则的周长为,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点,得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得,所以,所以,.把点的坐标代入椭圆方程得,即,化简得,又,所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.4．已知直线l经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【答案】（1）eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.；（2）见解析．【解析】(1)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,4a＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＝2，))∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在．设l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN)．将直线m的方程代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，∴xM＋xN＝－eq\f(8k2t,3＋4k2)，xMxN＝eq\f(4k2t2－3,3＋4k2)，∴|MN|2＝(1＋k2)·eq\f(1612k2－3k2t2＋9,3＋4k22).同理，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(4\r(9k2＋9),3＋4k2)＝eq\f(121＋k2,3＋4k2).由|MN|2＝4|AB|得t＝0，此时，Δ＝64k4t2－16(3＋4k2)(k2t2－3)＞0，∴直线m：y＝－kx，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)k))，即点P在定直线x＝eq\f(1,2)上．三、以焦点三角形为情景的最值、范围问题1．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆的焦点在轴上，可得出椭圆与圆有公共点，联立两圆方程，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，，椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，联立，可得，所以，，，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.故选：D.2．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．25【答案】D【分析】设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以.设，则,又.∴.故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.【点睛】解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.3.（多选题）已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点,,下列说法正确的有()A. B.的最大值为C.存在点,使 D.的最大值为【答案】A,B,D【解析】对于选项A,由题设可得:,由椭圆的定义可得:,故选项A正确;对于选项B,有椭圆的性质可知:(当为椭圆的右顶点时取“”),故选项B正确;对于选项C,又由椭圆的性质可知,当点为椭圆的上顶点或下顶点时,最大,此时,所以,即,故选项C错误;对于选项D,设,则，当时,,故选项D正确.方法点拨（1）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).（2）利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧巩固练习1．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝( )A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2【答案】C【分析】∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3).2．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝( )A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2【答案】C【分析】∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3).3．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.2．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )A．1 B.2C.3 D．4【答案】D【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a， ①,m2＋n2＝4c2，②))由①2得m2＋n2＋2mn＝4a2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，∴mn＝8.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝eq\f(1,2)×8＝4.6．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，设椭圆的右焦点为，连接，进而证明四边形为平行四边形，再结合椭圆的定义求解即可.【详解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，因为过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，所以原点平分