五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类:类型1:三角形面积最值问题;类型2:三角形周长定值及最值;类型3:三角形涉及中线长问题;类型4:三角形涉及角平分线问题;类型5:三角形涉及长度最值问题。类型1:面积最值问题技巧:正规方法:面积公式+基本不等式12S=absinC222c①2⇒a+b=2abcosC+c≥2ab⇒ab≤a2+b2−c2=2abcosC21−cosC12S=acsinB222b②2⇒a+c=2accosB+b≥2ac⇒ac≤a2+c2−b2=2accosB21−cosB12S=bcsinA222a③2⇒b+c=2bccosA+a≥2bc⇒bc≤b2+c2−a2=2bccosA21−cosA秒杀方法:在ΔABC中,已知B=θ,AC=x2AB+BC则:S=max⋅sinBΔABCmax822x其中AB+BC=2R⋅m+n+2mncosθm,n分别是BA、BC的系数2R=maxsinθ面积最值问题专项练习2221△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2acosC-b,c+a=b+3ac,b=2.(1)求A;π(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合,∠MAN=,求△AMN面积的取值范围.32π【答案】(1)333(2),32【详解】(1)由c=2acosC-b得2acosC=c+2b,由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sinA+C=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC,所以2cosAsinC+sinC=0,又因为C∈0,π,所以sinC≠0,12π所以cosA=-,又A∈0,π,所以A=,23222222222c+a-b3(2)由c+a=b+3ac,得c+a-b=3ac,由余弦定理知cosB==,又因为B∈0,π,2ac21π所以B=,6π所以C=π-A-B=,所以b=c=2,如图,设∠BAM=α,6π5ππ则∠CAN=-α,∠BMA=-α,∠CNA=+α,362πcsinB2sin61在△ABM中,由正弦定理可知AM===,sin∠BMA5ππsin6-αsin6+απbsinC2sin61在△ANC中,由正弦定理可知AN===,sin∠CNAπcosαsin2+α1111π3故S=AM⋅AN⋅sin∠MAN=⋅⋅⋅sin=△AMN22πcosα3πsinα+64sinα+6cosα3333,==2==23sinα+cosαcosα23sinαcosα+2cosα3sin2α+cos2α+1π2sin2α+6+1πππ5π1π因为α∈0,,所以<2α+<,所以
五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧(解析版)
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