高考数学专题07以椭圆为情景的定点问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 （解析

椭圆必会十大基本题型讲与练07以椭圆为情景的定点问题典例分析类型一、线过定点问题1、已知A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．【答案】eq\f(x2,9)＋y2＝1；【分析（2）】看问题：证明：直线CD过定点（属于线过定点问题）想方法：圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．看条件：P为直线x＝6上的动点，A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,9)＋y2＝1的左、右顶点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（点在椭圆上，一是想定义二是想坐标，都可得到等量关系）。定措施：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．则直线PA的方程为y＝eq\f(t,9)(x＋3)，所以y1＝eq\f(t,9)(x1＋3)，同理y2＝eq\f(t,3)(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．又eq\f(x\o\al(2,2),9)＋yeq\o\al(2,2)＝1，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，由此得到n的值，从而可证直线CD过定点。【解析】(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则eq\o(AG,\s\up7(―→))＝(a,1)，eq\o(GB,\s\up7(―→))＝(a，－1)．由eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))＝8，得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3＜n＜3.由于直线PA的方程为y＝eq\f(t,9)(x＋3)，所以y1＝eq\f(t,9)(x1＋3)．直线PB的方程为y＝eq\f(t,3)(x－3)，所以y2＝eq\f(t,3)(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于eq\f(x\o\al(2,2),9)＋yeq\o\al(2,2)＝1，故yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(x2＋3x2－3,9)，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①将x＝my＋n代入eq\f(x2,9)＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.所以y1＋y2＝－eq\f(2mn,m2＋9)，y1y2＝eq\f(n2－9,m2＋9).代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0.解得n＝eq\f(3,2)或n＝－3(舍去)．故直线CD的方程为x＝my＋eq\f(3,2)，即直线CD过定点若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点综上，直线CD过定点类型二、圆过定点问题1、已知点QUOTE