高考数学专题22 几何问题（原卷版）

几何问题例1．正四面体，棱长为1米，一条虫子从顶点开始爬行，在每一顶点，它等可能选择三棱之一，沿这棱到其它顶点，记是虫子从开始爬行了米回到的概率，则 ；通项公式 ．，1，2，例2．在棱长为1米的正四面体中，有一小虫从顶点处开始按以下规则爬行，在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头．记小虫爬了米后重新回到点的概率为．则 ．例3．已知三棱锥中，平面，，，．如图，从由任何二个顶点确定的向量中任取两个向量，记变量为所取两个向量的数量积的绝对值．（1）当时，求的值．（2）当时，求变量的分布列与期望．例4．发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动．抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；（2），2，3，4，表示第次按下抽奖键，小球出现在点处的概率．①求，，，的值；②写出与关系式，并说明理由．例5．如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行米后恰回到点的概率为．（1）求，的值；（2）求证：；（3）求证：．例6．假设位于正四面体顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由等可能地爬向、、中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第次爬行小虫位于顶点处的概率为．（1）求，，的值，并写出的表达式（不要求证明）；（2）设，试求（用含的式子表示）．例7．已知正四面体的棱长为．（1）已知点是的中点，点在的内部及边界上运动，且满足平面，试求点的轨迹；（2）有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了之后，求恰好回到点的概率．例8．设正四面体的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，（1）求它爬了4米之后恰好位于顶点的概率（2）求它爬了3米后经过的次数的分布列和均值．例9．某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.（1）求甲一次游戏中能中奖的概率;（2）设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.例10．如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量.（1）求的概率；（2）求的分布列及数学期望.例11．已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其数学期望．例12．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点刚好是边长为的等边三角形的三个顶点.（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准区域射击（不会打到外），则此次射击的着弹点距的距离都超过的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）(Ⅱ)该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间内.现从这次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为和）进行技术分析.求事件“”的概率.