2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 33页 · 476 K

2015年全国统一高考数学试卷理科)(新课标Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=( )A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2} 2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( )A.﹣1 B.0 C.1 D.2 3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21 B.42 C.63 D.84 5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=( )A.3 B.6 C.9 D.12 6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D. 7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2 B.8 C.4 D.10 8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0 B.2 C.4 D.14 9.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36π B.64π C.144π D.256π 10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )A. B. C. D. 11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )A. B.2 C. D. 12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ= .14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=﹣1,an+1=Sn+1Sn,则Sn= . 三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.21.(12分)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围. 四、选做题.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积. 选修4-4:坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值. 选修4-5:不等式选讲24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件. 2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=( )A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2} 【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可.【解答】解:B={x|﹣2<x<1},A={﹣2,﹣1,0,1,2};∴A∩B={﹣1,0}.故选:A.【点评】考查列举法、描述法表示集合,解一元二次不等式,以及交集的运算. 2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( )A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】A1:虚数单位i、复数.菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之.【解答】解:因为(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,所以4a+(a2﹣4)i=﹣4i,4a=0,并且a2﹣4=﹣4,所以a=0;故选:B.【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件,熟记运算法则以及复数相等的条件是关键. 3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8:频率分布直方图.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.故选:D.【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题. 4.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21 B.42 C.63 D.84 【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求.【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴,∴q4+q2+1=7,∴q4+q2﹣6=0,∴q2=2,∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.故选:B.【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题. 5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=( )A.3 B.6 C.9 D.12 【考点】3T:函数的值.菁优网版权所有【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用.【分析】先求f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和.【解答】解:函数f(x)=,即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==2×=12×=6,则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.故选:C.【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题. 6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D. 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,∴剩余部分体积为1﹣=,∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选:D.【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积. 7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2 B.8 C.4 D.10 【考点】IR:两点间的距离公式.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5B:直线与圆.【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出D,E,F,令x=0,即可得出结论.【解答】解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,∴D=﹣2,E=4,F=﹣20,∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0,令x=0,可得y2+4y﹣20=0,∴y=﹣2±2,∴|MN|=4.故选:C.【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键. 8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0 B.2 C.4 D.14 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5K:算法和程序框图.【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.【解答】解:由a=14,

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