2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 34页 · 604 K

2015年全国统一高考数学试卷理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=( )A.1 B. C. D.2 2.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A. B. C. D. 3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是( )A. B. C. D. 6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则( )A. B. C. D. 8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z 9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5 B.6 C.7 D.8 10.(5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10 B.20 C.30 D.60 11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1 B.2 C.4 D.8 12.(5分)设函数f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )A.[) B.[) C.[) D.[) 二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为 .15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为 .16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是 . 三、解答题:17.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3(I)求{an}的通项公式:(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi﹣)2(wi﹣)2(xi﹣)(yi﹣)(wi﹣)(yi﹣)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1v1),(u2v2)…..(unvn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数. 选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小. 选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. 选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=( )A.1 B. C. D.2 【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先化简复数,再求模即可.【解答】解:∵复数z满足=i,∴1+z=i﹣zi,∴z(1+i)=i﹣1,∴z==i,∴|z|=1,故选:A.【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础. 2.(5分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A. B. C. D. 【考点】GP:两角和与差的三角函数.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.故选:D.【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查. 3.(5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 【考点】2J:命题的否定.菁优网版权所有【专题】5L:简易逻辑.【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解:命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n,故选:C.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.【解答】解:由题意可知:同学3次测试满足X∽B(3,0.6),该同学通过测试的概率为=0.648.故选:A.【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查. 5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是( )A. B. C. D. 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定y0的取值范围.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.【解答】解:设圆锥的底面半径为r,则r=8,解得r=,故米堆的体积为××π×()2×5≈,∵1斛米的体积约为1.62立方,∴÷1.62≈22,故选:B.【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础. 7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则( )A. B. C. D. 【考点】96:平行向量(共线).菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为,然后结合已知表示为的形式.【解答】解:由已知得到如图由===;故选:A.【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量表示为. 8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z 【考点】HA:余弦函数的单调性.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,故选:D.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. 9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5 B.6 C.7 D.8 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:第一次执行循环体后,S=,m=,n=1,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=2,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=3,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=,m=,n=6,不满足退出循环的条件;再

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐