2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 34页 · 480.5 K

2013年全国统一高考数学试卷理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x|(x﹣1)2<4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则M∩N=( )A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=( )A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 3.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B. C. D. 4.(5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 5.(5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 6.(5分)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A. B. C. D. 7.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D. 8.(5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 9.(5分)已知a>0,实数x,y满足:,若z=2x+y的最小值为1,则a=( )A.2 B.1 C. D. 10.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(﹣∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0 11.(5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 12.(5分)已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1) B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•= .14.(5分)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n= .15.(5分)设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sinθ+cosθ= .16.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤:17.(12分)△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.18.(12分)如图,直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD(Ⅱ)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为x的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若x∈[100,110))则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率,求T的数学期望.20.(12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线x+y﹣=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(Ⅰ)求M的方程(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0. 选考题:(第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分评分,作答时请写清题号)22.(10分)【选修4﹣1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.【选修4﹣﹣5;不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)(Ⅱ). 2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x|(x﹣1)2<4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则M∩N=( )A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 【考点】1E:交集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】求出集合M中不等式的解集,确定出M,找出M与N的公共元素,即可确定出两集合的交集.【解答】解:由(x﹣1)2<4,解得:﹣1<x<3,即M={x|﹣1<x<3},∵N={﹣1,0,1,2,3},∴M∩N={0,1,2}.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=( )A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i,得到z的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果.【解答】解:∵复数z满足z(1﹣i)=2i,∴z==﹣1+i故选:A.【点评】本题考查代数形式的除法运算,是一个基础题,这种题目若出现一定是一个送分题目,注意数字的运算. 3.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B. C. D. 【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】设等比数列{an}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到,解出即可.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵S3=a2+10a1,a5=9,∴,解得.∴.故选:C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键. 4.(5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 【考点】LJ:平面的基本性质及推论;LQ:平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论.【解答】解:由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,与m,n异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l.故选:D.【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题. 5.(5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a•=5,由此解得a的值.【解答】解:已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+x+x2+x3+x4+x5)展开式中x2的系数为+a•=5,解得a=﹣1,故选:D.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 6.(5分)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A. B. C. D. 【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】27:图表型.【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始,逐渐分析写出程序运行的每一步,便可得到程序框图表示的算法的功能.【解答】解:框图首先给累加变量S和循环变量i赋值,S=0+1=1,k=1+1=2;判断k>10不成立,执行S=1+,k=2+1=3;判断k>10不成立,执行S=1++,k=3+1=4;判断k>10不成立,执行S=1+++,k=4+1=5;…判断i>10不成立,执行S=,k=10+1=11;判断i>10成立,输出S=.算法结束.故选:B.【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律. 7.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D. 【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有【专题】11:计算题;13:作图题.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可.【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为:故选:A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力. 8.(5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用loga(xy)=logax+logay(x、y>0),化简a,b,c然后比较log32,log52,log72大小即可.【解答】解:因为a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,因为y=log2x是增函数,所以log27>log25>log23,∵,,所以log32>log52>log72,所以a>b>c,故选:D.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,对数函数的单调性

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