2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 12页 · 342 K

2011年全国统一高考数学试卷文科)(大纲版)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩N)=( )A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 2.(5分)函数y=(x≥0)的反函数为( )A.y=(x∈R) B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0)3.(5分)设向量、满足||=||=1,•=﹣,|+2|=( )A.. B. C.、 D.. 4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=2x+3y的最小值为( )A.17 B.14 C.5 D.3 5.(5分)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 6.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )A.8 B.7 C.6 D.5 7.(5分)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9 8.(5分)已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=( )A.2 B. C. D.1 9.(5分)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A.12种 B.24种 C.30种 D.36种 10.(5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 11.(5分)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( )A.4 B. C.8 D. 12.(5分)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )A.7π B.9π C.11π D.13π 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(1﹣x)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为: .14.(5分)已知a∈(π,),tanα=2,则cosα= .15.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 .16.(5分)已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|= . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB,(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若A=75°,b=2,求a,c.19.(12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.20.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小.21.(12分)已知函数f(x)=x3+3ax2+(3﹣6a)x+12a﹣4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2);(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围.22.(12分)已知O为坐标原点,F为椭圆C:在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点,点P满足.(Ⅰ)证明:点P在C上;(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上. 2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩N)=( )A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先根据交集的定义求出M∩N,再依据补集的定义求出∁U(M∩N).【解答】解:∵M={1,2,3},N={2,3,4},∴M∩N={2,3},则∁U(M∩N)={1,4},故选:D.【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义,以及求两个集合的交集、补集的方法. 2.(5分)函数y=(x≥0)的反函数为( )A.y=(x∈R) B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0) 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式,再把x和y交换位置,注明反函数的定义域(即原函数的值域).【解答】解:∵y=(x≥0),∴x=,y≥0,故反函数为y=(x≥0).故选:B.【点评】本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的定义域是原函数的值域. 3.(5分)设向量、满足||=||=1,•=﹣,|+2|=( )A.. B. C.、 D.. 【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由|+2|==,代入已知可求【解答】解:∵||=||=1,•=﹣,|+2|===故选:B.【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用,属于基础试题 4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=2x+3y的最小值为( )A.17 B.14 C.5 D.3 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域,然后求出平面区域内各个顶点的坐标,再将各个顶点的坐标代入目标函数,比较后即可得到目标函数的最值.【解答】解:约束条件的平面区域如图所示:由图可知,当x=1,y=1时,目标函数z=2x+3y有最小值为5故选:C.【点评】本题考查的知识点是线性规划,其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键. 5.(5分)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3 【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有【专题】5L:简易逻辑.【分析】利用不等式的性质得到a>b+1⇒a>b;反之,通过举反例判断出a>b推不出a>b+1;利用条件的定义判断出选项.【解答】解:a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选:A.【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法. 6.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )A.8 B.7 C.6 D.5 【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2,Sk,将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解.【解答】解:根据题意:Sk+2=(k+2)2,Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24转化为:(k+2)2﹣k2=24∴k=5故选:D.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用,同时还考查了方程思想,属中档题. 7.(5分)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9 【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,容易得到结果.【解答】解:f(x)的周期T=,函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以,k∈Z.令k=1,可得ω=6.故选:C.【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技术能力,常考题型. 8.(5分)已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=( )A.2 B. C. D.1 【考点】MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据线面垂直的判定与性质,可得AC⊥CB,△ACB为直角三角形,利用勾股定理可得BC的值;进而在Rt△BCD中,由勾股定理可得CD的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,可得AC⊥面β,则AC⊥CB,△ACB为Rt△,且AB=2,AC=1,由勾股定理可得,BC=;在Rt△BCD中,BC=,BD=1,由勾股定理可得,CD=;故选:C.【点评】本题考查两点间距离的计算,计算时,一般要把空间图形转化为平面图形,进而构造直角三角形,在直角三角形中,利用勾股定理计算求解. 9.(5分)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A.12种 B.24种 C.30种 D.36种 【考点】D3:计数原理的应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分步计数问题,恰有2人选修课程甲,共有C42种结果,余下的两个人各有两种选法,共有2×2种结果,根据分步计数原理得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题,∵恰有2人选修课程甲,共有C42=6种结果,∴余下的两个人各有两种选法,共有2×2=4种结果,根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选:B.【点评】本题考查分步计数问题,解题时注意本题需要分步来解,观察做完这件事一共有几步,每一步包括几种方法,这样看清楚把结果数相乘得到结果. 10.(5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 【考点】3I:奇函数、偶函数;3Q:函数的周期性.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由题意得=f(﹣)=﹣f(),代入已知条件进行运算.【解答】解:∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),∴=f(﹣)=﹣f()=﹣2×(1﹣)=﹣,故选:A.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值. 11.(5分)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( )A.4 B. C.8 D. 【考点】J1:圆的标准方程.菁优网版权所有【专题】5B:直线与圆.【分析】圆在第一象限内,设圆心的坐标为(a,a),(b,b),利用条件可得a和b分别为x2﹣10x+17=0的两个实数根,再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值.【解答】解:∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故圆在第一象限内,设两个圆的圆心的坐标分别为(a,a),(b,b),由于两圆都过点(4,1),则有=|a|,|=|b|,故a和b分别为(x﹣4)2+(x﹣1)2=x2的两个实数根,即a和b分别为x2﹣10x+17=0的两个实数根,∴a+b=10,ab=17,∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=32,∴两圆心的距离|C1C2|=•=8,故选:C.【点评】本题考查直线和圆相切的性质,两点间的距离公式、韦达定理的应用,属于基础题. 12.(5分)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且

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