2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学一、选择题1.设集合M{1,3,5,7,9}，N{x|2x7}，则MN（）A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案：B解析：依题意可知N{x|x3.5}，所以MN{5,7,9}.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%，正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%，正确.C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.02)17.68万元，不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64，正确.3.已知(1i)2z32i，则z（）3A.1i23B.1i23C.i23D.i2答案：B解析：32i32i23i3z1i.(1i)22i224.下列函数中是增函数的是（）A.f(x)x2B.f(x)()x3C.f(x)x2D.f(x)3x答案：D解析：2∵f(x)x，f(x)()x，在R上单调递减，f(x)x2在(,0)上单调递减，故A，3B，C错误；f(x)3x在R上单调递增，故D正确.x2y25.点(3,0)到双曲线1的一条渐近线的距离为（）1699A.58B.56C.54D.5答案：A解析：x2y23x2y2双曲线1的渐近线为yx，则点(3,0)到双曲线1的一条渐近线16941693309的距离为.324256.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10101.259）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案：C解析：1代入L5lgV，知lgV4.950.1，故V100.10.8.10107.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.8.在ABC中，已知B120，AC19，AB2，则BC（）A.1B.2C.5D.3答案：D解析：由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosABCBC22BC150，解得BC3.9.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S24，S46，则S6（）A.7B.8C.9D.10答案：A解析：由等比数列的性质可知：S2,S4S2,S6S4成等比数列，即4,2,S66成等比数列，所以S61S76，即6，故选A.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案：C解析：求出所有的排列数，先将3个1排成一排，有4个空位，当每个空位排一个0，即从4个空位中选2个，有6种排法，此时2个0不相邻；当两个0相邻时，即从4个空位中选出一个来排两个0，有4种选法，从而总的排法数有10个，再根据古典概型概率公式可得概率60.6，故选C.10cos11.若(0,)，tan2，则tan（）22sin15A.155B.55C.315D.3答案：A解析：costan2.2sin2tan2sincoscostan21tan2cos2sin22sin∴2sin(2sin)cos2sin2∴4sin2sin2cos2sin212sin21∴sin.4115又∵(0,).如图，tan.2151511512.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)f(x).若f()，则f()333（）5A.31B.31C.35D.3答案：C解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(1x)f(x)f(x)∴f(1x)f(x)，∴f(2x)f(1x)f(x)∴f(x)周期为2的周期函数.5511∴f()f(2)f().3333二、填空题13.若向量a,b满足|a|3，|ab|5，ab1，则|b|.答案：32解析：22222|ab|5，∴a2abb25，∴|a|2ab|b|25，∴92|b|25，2∴|b|18，∴|b|32.14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为.答案：39解析：15圆锥底面半径r6，体积Vr2h30，则圆锥的高h，则母线长32131lh2r2，则圆锥的侧面积S2rl39.2215.已知函数f(x)2cos(x)的部分图像如图所示，则f().2答案：3解析：31332由图可知TT2，由41234131313f()22cos()22，12666所以f()2cos(2)3.226x2y216.已知F，F为椭圆C:1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两12164点，且|PQ||F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为.答案：解析：答案：8解析：如图，由|PQ||F1F2|及椭圆对称性可知，四边形PF1QF2为矩形.mn8①①2②设|PF1|m，|PF2|n，则，得2mn16.所以，四边形222②mn|F1F2|482PF1QF2面积为mn8.三、解答题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？n(adbc)2附：K2，(ab)(cd)(ac)(bd)答案：见解析解析：（1）由表格数据得：1503甲机床生产的产品中一级品的频率为=；20041203乙机床生产的产品中一级品的频率为；2005n(adbc)2400(1508012050)2（2）由题意k210.2566.635.(ab)(cd)(ac)(bd)20020027030所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.记Sn为数列{an}的前n项和，已知an0，a23a1，且数列{Sn}是等差数列，证明：{an}是等差数列.答案：见解析解析：∵{Sn}为等差数列，设公差为d.∴S2S1d，即4a1a1d.∴a1dS1，∴SnS1(n1)dnd.2222222∴Snnd，∴anSnSn1nd(n1)d(2n1)d(n2)，222即an2dnd(n2)，又a1S1d同样满足通项公式，所以{an}是等差数列.19．已知直三棱柱퐴퐵퐶−퐴1퐵1퐶1中，侧面퐴퐴1퐵1퐵为正方形．퐴퐵＝퐵퐶＝2，퐸，퐹分别为퐴퐶和퐶퐶1的中点，퐵퐹⊥퐴1퐵1．(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知퐷为棱퐴1퐵1上的点，证明：퐵퐹⊥퐷퐸．DA1B1C1FABEC答案：见解析；解析；222（1）BFA1B1，则BFABAFBFAB9.又AF2FC2AC2AC28则ABBC.11111AC22,VFEBCVFABC221.22323（2）连A1E，取BC中点M连B1M，EM，由EM为AC，BC的中点，则EM//AB，又AB//A1B1，A1B1//EM，则A1B1ME共面，故DE面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中FCBMBB1，则BFMB1BFA1B1又面，则MB1A1B1B1BFA1B1MEBFDE.面MB1,A1B1A1B1ME20.设函数f(x)a2xax3lnx1，其中a0.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若yf(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.答案：见解析解析：32a2x2ax3(2ax3)(ax1)（1）f(x)2a2xaxxx1∵a0，x0，∴2ax30，∴当x(0,)时f(x)0函数单调递减，a1当x(,)时，f(x)0，函数单调递增.a11∴f(x)在(0,)上递减，在(,)上递增，aa（2）当x0时f(x)0，结合函数单调性可知若f(x)与x无交点时f(x)min01111即f()a2a3ln10.aa2aa1111化简可得ln1即ea.所以参数a的取值范围为(,)aaee21.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M(2,0)，且M与l相切.（1）求C，M的方程；（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线A1A2A3CA1A2A1A3MA2A3与M的位置关系，并说明理由.答案：见解析解析：222（1）C:yx，M:(x2)y1.222（2）设A1(a,a)，A2(b,b)，A3(c,c).1l:ya(xa2)x(ab)yab0，所以A1A2ab|2ab|dr1①.1(ab)21l:ya(xa2)x(ac)yac0，所以A1B3ac|2ac|dr1②.1(ac)2|2ax|所以b，c是方程1(a21)x22axa230的两根.1(ax)2又l:x(bc)ybc0，所以A2A33a2|2|2|2bc|2|a1|da11.22a421(bc)1()a2a1a21所以，即直线与相切.drA2A3M22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP2AM，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.答案：见解析解析：（1）222cosx2y222x(x2)2y22.（2）设P(x,y)，M(x0,y0)，由22222AP2AMOMAPOA(x1,y)(1,0)(x1,y).22222又M在C上，所以232(x21)2(y)22(x23)2y24.222则C1为(32,0)为圆心，半径为2的圆，所以C1Cr1r2所以，两圆为内含关系，所以，圆C与圆C1无公共点.23.已知函数f(x)|x2|，g(x)|2x3||2x1|.（1）画出yf(x)和yg(x)的图象；（2）若f(xa)g(x)，求a的取值范围.答案：见解析；解析：34,x