2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A1，2，3，5，7，11，Bx|3x15，则A∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】采用列举法列举出AB中元素的即可.【详解】由题意，AB{5,7,11}，故AB中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.若z1i1i，则z=（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.1i(1i)22i【详解】因为zi，所以z=i.1i(1i)(1i)2故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.2【详解】因为数据axib，(i1,2,L,n)的方差是数据xi，(i1,2,L,n)的方差的a倍，所以所求数据方差为1020.01=1故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=，其中K1e0.23(t53)为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】K将tt代入函数It结合It0.95K求得t即可得解.1e0.23t53KK0.23t53【详解】It，所以It0.95K，则，0.23t530.23t53e191e1e3所以，0.23t53ln193，解得t5366.0.23故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.ππ5.已知sinsin=1，则sin=（）361322A.B.C.D.2332【答案】B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.13【详解】由题意可得：sinsincos1，2233313则：sincos1，sincos，222233从而有：sincoscossin，6633即sin.63故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若ACBC=1，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设AB2aa0，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：Aa,0,Ba,0，设Cx,y，可得：ACxa,y,BCxa,y，从而：ACBCxaxay2，结合题意可得：xaxay21，整理可得：x2y2a21，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，a21为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）11A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）42【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件ODOE，结合抛物线的对称性，可知COxCOx，从而可4以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线x2与抛物线y22px(p0)交于C,D两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定DOxCOx，所以C(2,2)，41代入抛物线方程44p，求得p1，所以其焦点坐标为(,0)，2故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.8.点(0，﹣1)到直线ykx1距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点P(1,0)，设A(0,1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)距离最大，即可求得结果.【详解】由yk(x1)可知直线过定点P(1,0)，设A(0,1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)距离最大，即为|AP|2.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形1根据立体图形可得：SSS222△ABC△ADC△CDB2根据勾股定理可得：ABADDB22△ADB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：113SABADsin60(22)223△ADB222该几何体的表面积是：3223623.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.210.设a=log32，b=log53，c=，则（）3A.a0，b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为a2b2_________．【答案】3【解析】【分析】b根据已知可得2，结合双曲线中a,b,c的关系，即可求解.ax2y2【详解】由双曲线方程1可得其焦点在x轴上，a2b2因为其一条渐近线为y2x，bcb2所以2，e13.aaa2故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.exe15.设函数f(x)．若f(1)，则a=_________．xa4【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值exxaexexxa1【详解】由函数的解析式可得：fx，xa2xa2e11a1aeaee则：f1，据此可得：2，1a2a12a14整理可得：a22a10，解得：a1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．2【答案】3【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC2,ABAC3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，221由于AM3122，故S△ABC22222，2设内切圆半径为r，则：111SSSSABrBCrACr△ABC△AOB△BOC△AOC2221332r22，2242解得：r=，其体积：Vr3.2332故答案为：.3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{an}满足a1a24，a3a18．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若SmSm1Sm3，求m．n1【答案】（1）an3；（2）m6.【解析】