2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合S={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( )A.[2,3]B.(﹣∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)2.(5分)若z=1+2i,则=( )A.1B.﹣1C.iD.﹣i3.(5分)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=( )A.30°B.45°C.60°D.120°4.(5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个5.(5分)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )第1页(共34页)A.B.C.1D.6.(5分)已知a=,b=,c=,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.(5分)执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )A.3B.4C.5D.68.(5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )A.B.C.﹣D.﹣9.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )第2页(共34页)A.18+36B.54+18C.90D.8110.(5分)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.C.6πD.11.(5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.B.C.D.12.(5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值第3页(共34页)为 .14.(5分)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到.15.(5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,﹣3)处的切线方程是 .16.(5分)已知直线l:mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.18.(12分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明;(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:第4页(共34页)参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646.参考公式:相关系数r=,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.第5页(共34页)220.(12分)已知抛物线C:y=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.21.(12分)设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.第6页(共34页) 请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD. [选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;第7页(共34页)(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. [选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 第8页(共34页)2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合S={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( )A.[2,3]B.(﹣∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可.【解答】解:由S中不等式解得:x≤2或x≥3,即S=(﹣∞,2]∪[3,+∞),∵T=(0,+∞),∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)若z=1+2i,则=( )A.1B.﹣1C.iD.﹣i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可.【解答】解:z=1+2i,则===i.第9页(共34页)故选:C.【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力. 3.(5分)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=( )A.30°B.45°C.60°D.120°【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;41:向量法;49:综合法;5A:平面向量及应用.【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值.【解答】解:,;∴;又0°≤∠ABC≤180°;∴∠ABC=30°.故选:A.【点评】考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角. 4.(5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是( )第10页(共34页)A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有【专题】31:数形结合;4A:数学模型法;5M:推理和证明.【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可.【解答】解:A.由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确B.七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确C.三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确D.平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误,故选:D.【点评】本题主要考查推理和证明的应用,根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图,利用图象法进行判断是解决本题的关键. 5.(5分)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )A.B.C.1D.第11页(共34页)【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;56:三角函数的求值.【分析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α),再将“弦”化“切”即可得到答案.【解答】解:∵tanα=,∴cos2α+2sin2α====.故选:A.【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题. 6.(5分)已知a=,b=,c=,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【考点】4Y:幂函数的单调性、奇偶性及其应用.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】b==,c==,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案.【解答】解:∵a==,b=,c==,综上可得:b<a<c,故选:A.【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档. 7.(5分)执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )第12页(共34页)A.3B.4C.5D.6【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图.【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.【解答】解:模拟执行程序,可得a=4,b=6,n=0,s=0执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2不满足条件s>16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环第13页(共34页)得到的a,b,s的值是解题的关键,属于基础题. 8.(5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )A.B.C.﹣D.﹣【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;44:数形结合法;58:解三角形.【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案.【解答】解:设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC=a,∴BD=AD=a,CD=a,在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=,∴cosA=cos(+θ)=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣.故选:C.【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令∠DAC=θ,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题. 9.(5分)如图,网格纸上小正方
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
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