2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.*1.已知集合A{(x,y)|x,yN,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出AB中元素的即可.yx*【详解】由题意，AB中的元素满足，且x,yN，xy8由xy82x，得x4，所以满足xy8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.12.复数的虚部是（）13i3113A.B.C.D.10101010【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.113i13【详解】因为zi，13i(13i)(13i)101013所以复数z的虚部为.13i10故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.43.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四i1种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.p1p40.1,p2p30.4B.p1p40.4,p2p30.1C.p1p40.2,p2p30.3D.p1p40.3,p2p30.2【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为xA140.1230.42.5，22222方差为sA12.50.122.50.432.50.442.50.10.65；对于B选项，该组数据的平均数为xB140.4230.12.5，22222方差为sB12.50.422.50.132.50.142.50.41.85；对于C选项，该组数据的平均数为xC140.2230.32.5，22222方差为sC12.50.222.50.332.50.342.50.21.05；对于D选项，该组数据的平均数为xD140.3230.22.5，22222方差为sD12.50.322.50.232.50.242.50.31.45.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=，其中K1e0.23(t53)为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】K将tt代入函数It结合It0.95K求得t即可得解.1e0.23t53KK0.23t53【详解】It，所以It0.95K，则，0.23t530.23t53e191e1e3所以，0.23t53ln193，解得t5366.0.23故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）11A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）42【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件ODOE，结合抛物线的对称性，可知COxCOx，从而可4以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线x2与抛物线y22px(p0)交于C,D两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定DOxCOx，所以C(2,2)，41代入抛物线方程44p，求得p1，所以其焦点坐标为(,0)，2故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab=（）31191719A.B.C.D.35353535【答案】D【解析】【分析】计算出aab、ab的值，利用平面向量数量积可计算出cosa,ab的值.22【详解】a5，b6，ab6，aabaab5619.222ababa2abb2526367，aab1919因此，cosa,ab.aab5735故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.27.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）31112A.B.C.D.9323【答案】A【解析】【分析】AB2BC2AC2根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据cosB，即可求得答案.2ABBC2【详解】在ABC中，cosC，AC4，BC33根据余弦定理：AB2AC2BC22ACBCcosC2AB242322433可得AB29，即AB3AB2BC2AC299161由cosB2ABBC23391故cosB.9故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形1根据立体图形可得：SSS222△ABC△ADC△CDB2根据勾股定理可得：ABADDB22△ADB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：113SABADsin60(22)223△ADB222该几何体的表面积是：3223623.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.π9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）4A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.tan1【详解】2tantan7，2tan7，41tan1t令ttan,t1，则2t7，整理得t24t40，解得t2，即tan2.1t故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.110.若直线l与曲线y=x和x2+y2=都相切，则l的方程为（）5111A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+22212【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx上的切点为x0,x0，则x00，11函数yx的导数为y，则直线l的斜率k，2x2x01yxxx设直线l的方程为00，即x2x0yx00，2x01x01由于直线l与圆x2y2相切，则，514x051两边平方并整理得5x24x10，解得x1，x（舍），0000511则直线l的方程为x2y10，即yx.22故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.x2y211.设双曲线C：1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．Pa2b2是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.c【详解】5，c5a，根据双曲线的定义可得PFPF2a，a121S△|PF|PF4，即|PF1|PF28，PF1F221222FPFP，2，12|PF1|PF22c22，即22，解得，PF1PF22PF1PF24ca5a40a1故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.544512.已知5<8，13<8．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a