2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)答案 A解析 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.2．设z＝－3＋2i，则在复平面内QUOTE对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 由题意，得QUOTE＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．已知QUOTE＝(2,3)，QUOTE＝(3，t)，|QUOTE|＝1，则QUOTE·QUOTE等于( )A．－3B．－2C．2D．3答案 C解析 因为QUOTE＝QUOTE－QUOTE＝(1，t－3)，所以|QUOTE|＝QUOTE＝1，解得t＝3，所以QUOTE＝(1,0)，所以QUOTE·QUOTE＝2×1＋3×0＝2，故选C.4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：QUOTE＋QUOTE＝(R＋r)QUOTE.设α＝QUOTE.由于α的值很小，因此在近似计算中QUOTE≈3α3，则r的近似值为( )A.QUOTERB.QUOTERC.QUOTERD.QUOTER答案 D解析 由QUOTE＋QUOTE＝(R＋r)QUOTE，得QUOTEeq\f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(r,R)))2)＋QUOTE＝QUOTEM1.因为α＝QUOTE，所以QUOTE＋QUOTE＝(1＋α)M1，得QUOTE＝QUOTE.由QUOTE≈3α3，得3α3≈QUOTE，即3QUOTE3≈QUOTE，所以r≈QUOTE·R，故选D.5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差答案 A解析 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.6．若a>b，则( )A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a3－b3>0 D．|a|>|b|答案 C解析 由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b0)的焦点是椭圆QUOTE＋QUOTE＝1的一个焦点，则p等于( )A．2B．3C．4D．8答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为QUOTE，椭圆的焦点坐标为(±QUOTE，0)，所以QUOTE＝QUOTE，解得p＝8，故选D.9．下列函数中，以QUOTE为周期且在区间QUOTE上单调递增的是( )A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案 A解析 A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为QUOTE，当x∈QUOTE时，2x∈QUOTE，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为QUOTE，当x∈QUOTE时，2x∈QUOTE，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝QUOTE由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.10．已知α∈QUOTE，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα等于( )A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈QUOTE，所以cosα＝QUOTEeq\r(1－sin2α)，所以2sinαQUOTE＝1－sin2α，解得sinα＝QUOTE，故选B.11．设F为双曲线C：QUOTE－QUOTE＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.QUOTEB.QUOTEC．2D.QUOTE答案 A解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为QUOTE2＋y2＝QUOTE①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝QUOTE，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝QUOTE，所以|PQ|＝2QUOTE.由|PQ|＝|OF|，得2QUOTE＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝QUOTE，故选A.12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－QUOTE，则m的取值范围是( )A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE答案 B解析 当－10时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝QUOTEa＝8，所以a＝－3.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝QUOTE，则△ABC的面积为________．答案 6QUOTE解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝QUOTE，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosQUOTE，得c＝2QUOTE，所以a＝4QUOTE，所以△ABC的面积S＝QUOTEacsinB＝QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×sinQUOTE＝6QUOTE.方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝QUOTE，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosQUOTE，得c＝2QUOTE，所以a＝4QUOTE，所以a2＝b2＋c2，所以A＝QUOTE，所以△ABC的面积S＝QUOTE×2QUOTE×6＝6QUOTE.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 答案 26 QUOTE－1解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则QUOTEx＋x＋QUOTEx＝1，解得x＝QUOTE－1，故题中的半正多面体的棱长为QUOTE－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，因为BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1所以BE⊥平面EB1C1.(2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，QUOTE的方向为x轴正方向，|QUOTE|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，QUOTE＝(1,0,0)，QUOTE＝(1，－1,1)，QUOTE＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则QUOTE即QUOTE所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则QUOTE即QU