2009年广东高考（文科）数学试题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应位置上；如需改动，先花掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是2．下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位)的是 A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=53．已知平面向量a=(x，1)，b=(—x，x2)，则向量a+bA．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线4．若函数是函数的反函数，且，则A．B．C．D．5．已知等比数列的公比为正数，且，，则 A． B． C． D．6．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．已知中，的对边分别为。若，且，则A．2B．C．D．8．函数的单调递增区间是 A．B．（0，3）C．（1，4）D．9．函数是 A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A．20.6B．21C．22D．23二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。(一)必做题(11~13题)11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的=。(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人。13．以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_______________________。（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________。15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16．（本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中.求和的值；若，求的值。17．（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面.18．（本小题满分13分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。19．（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。圆：的圆心为点。（1）求椭圆G的方程；（2）求面积；（3）问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由。20．（本小题满分14分）已知点是函数的图像上一点。等比数列的前n项和为。数列的首项为c，且前n项和满足（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？21．（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）A． B． C． D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 2．（5分）（2009•广东）下列n的取值中，使in=1（i是虚数单位）的是（ ）A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍，在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使in；=1，则n必须是4的整数倍，在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质，是一个基础题，题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答． 3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=（﹣x，x2），则向量+（ ）A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解：+=（0，1+x2），1+x2≠0，故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（）=1，则函数y=（ ）A．log2x B． C． D．2x﹣2【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1）=，即a1﹣a=，解出a的值，即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1，∴f﹣1（1）=，由题意知a1﹣a=，∴a=2，y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系． 5．（5分）（2009•广东）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（ ）A． B． C． D．2【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 6．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题． 7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（ ）A．2 B．4+2 C．4﹣2 D．﹣【考点】正弦定理．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系． 8．（5分）（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（ ）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间． 9．（5分）（2009•广东）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（ ）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，