2021年高考数学（新高考全国Ⅰ卷）含解析版

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学一、单选题1.设集合A{x|2x4}，B{2,3,4,5}，则AB（）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案：B解析：AB{2,3}，选B.2.已知z2i，则z(zi)（）A.62iB.42iC.62iD.42i答案：C解析：，选C.z2i,z(zi)(2i)(22i)62i3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22C.4D.42答案：B解析：设母线长为l，则l22l22.4.下列区间中，函数f(x)7sin(x)单调递增的区间是（）6A.(0,)2B.(,)23C.(,)23D.(,2)2答案：A解析：f(x)单调递增区间为：22kx2k(kZ)2kx2k(kZ)，令k0，故26233选A.x2y25.已知F1，F2是椭圆C:1的两个焦点，点M在C上，则|MF1||MF2|的最94大值为（）A.13B.12C.9D.6答案：C解析：|MF||MF|由椭圆定义，|MF||MF|6，则|MF||MF|(12)29，故选C.12122sin(1sin2)6.若tan2，则（）sincos6A.52B.52C.56D.5答案：C解析：sin(1sin2)sin(sin2cos22sincos)sincossincossin2sincostan2tan2，故选C.sin2cos2tan2157.若过点(a,b)可以作曲线yex的两条切线，则（）A.ebaB.eabC.0aebD.0bea答案：D解析：设切点为P(x0,y0)，∵yex，∴yex，则切线斜率kex0，切线方程为ybex0(xa)，x又∵P(x0,y0)在切线上以及ye上，x0x0则有ebe(x0a)，x0整理得e(x0a1)b0，令g(x)ex(xa1)b，则g(x)ex(xa)，∴g(x)在(,a)单调递减，在(a,)单调递增，则g(x)在xa时取到极小值即最小值g(a)bea，又由已知过(a,b)可作yex的两条切线，等价于g(x)ex(xa1)b有两个不同的零点，aa则gmin(x)g(a)be0，得eb，又当x时，ex(xa1)0，则ex(xa1)bb，∴b0，当x1aa时，有g(1a)b0，即g(x)有两个不同的零点.∴0bea.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，111561∴P(甲)，P(乙)1，P(丙)，P(丁)=，6663636611P(甲丙)0，P(甲丁)，P(乙丙)，P(丙丁)0，3636故P(甲丁)P(甲)P(丁)，B正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据x1,x2,,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,,yn，其中cy1xic(i1,2,n)，为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D解析：xxxyyyxxx对于A选项：x12n，y12n12nc，∴n1nnxy，∴A错误；m对于B选项：可假设数据样本x1,x2,,xn中位数为，由可知数据样本yixicy1,y2,,yn的中位数为mc，∴B错误；对于C选项：1S[(xx)2(xx)2(xx)2]1n12n1S[(yy)2(yy)2(yy)2]2n12n，∴C正确；1[(xx)2(xx)2(xx)2]Sn12n1对于D选项：∵，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。yixic10.已知O为坐标原点，点P1(cos,sin)，P2(cos,sin)，P3(cos(),sin())，A(1,0)，则（）A.|OP1||OP2|B.|AP1||AP2|C.OAOP3OP1OP2D.OAOP1OP2OP3答案：A、C解析：22，22，∴A正确；|OP1|cossin1|OP2|cos(sin)1222，AP1(cos1)sin22cos222，22cos22cos,∴B错；AP2(cos1)(sin)22cosOAOP3cos()，OP1OP2coscossinsincos()，∴C正确；OAOP1cos，OP2OP3coscos()sinsin()cos(2)，∴D错.11.已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，|PB|32D.当PBA最大时，|PB|32答案：A、C、D解析：由已知易得直线AB的方程为x2y40.|5104|11圆心(5,5)到直线AB的距离d4，1225∴直线AB与圆相离，1111则P到AB的距离的取值范围为[4,4]，5511又45，5则A正确，B错误，由图易得，当P在点P1处时，BP1与圆C相切，此时PBAP1BA最小，22|BC|5(52)34，|CP1|4，∴BP132，同理当P在点P2处，PBAP2BA最大，22此时BP2BCP2C32.故C、D正确.12.在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，点P满足BPBCBB1，其中[0,1]，[0,1]，则（）A.当1时，AB1P的周长为定值B.当1时，三棱锥PA1BC的体积为定值1C.当时，有且仅有一个点P，使得APBP211D.当时，有且仅有一个点P，使得AB平面ABP211答案：B、D解析：对于A，当1时，BPBCBB1，∴CPBB1，此时P在线段CC1上运动，此时AB1P的周长不为定值，A错.对于B，当1时，BPBCBB1B1PBC，此时P在线段B1C1上运动,B1C1//平面A1BC，点P到平面A1BC的距离即为点B1到平面A1BC的距离，VV为定值，B正确.PA1BCB1A1BC11对于C，当时，BPBCBB，分别取BC，BC的中点E,F，此时P在线22111段EF上运动，要使A1PBP，只需A1P在平面BCC1B1上的射影PF与BP垂直，此时P在E或F的位置，有两个P，C错误.11对于D，时，BPBCBB，分别取BB,CC的中点M,N，则P在线段22111MN上运动，∵正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，A1BAB1，要使得A1B平面AB1P，只需A1B在平面BCC1B1上的射影与B1P垂直，有且只有一个点P即为N点时，满足题意，D正确.三、填空题13.已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a.答案：1解析：因为f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，即x3(a2x2x)x3(a2x2x)，整理则有(a1)(2x2x)0，故a1.14.已知O为坐标原点，抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为.答案：3x2解析：pFQPF因为PF垂直x轴，故点P坐标为(,p)，又因为OPPF，则2，即2PFOF632，故p3，则准线方程为x.p215.函数f(x)|2x1|2lnx的最小值为.答案：1解析：121当x时，f(x)2x12lnx，f(x)2，f(x)0时，x1，2x211f(x)0时，x1，f(x)在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，当0x22时，f(x)12x2lnx，函数单调递减，综上，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以函数最小值为f(1)1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格2的图形，它们的面积之和S1240dm，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm2，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm，以此类推.则对折4次共nn可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么Skk1dm2.答案：5240n7207202n解析：3355（1）易知有20dmdm，10dmdm，5dm3dm，dm6dm，dm12dm4224，共5种规格.240240(k1)（2）由题可知对折k次共有k1种规格，且面积为，故S，则2kk2knnk1nk11nk1S240，记T，则T，故kknknk1k1k12k122k121nk1nk1n1k2nk2n1T1()nkk1k1k1n12k12k12k12k12211(1)n1n13n3n3142，则T3，故1n1n1nn122222nn3240n720S240(3)720.knnk122四、解答题an1,n为奇数17.已知数列{an}满足a11，an1.为偶数an2,n（1）记bna2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；（2）求{an}的前20项和.答案：见解析；解析：（1）b1a2a112，a3a224，b2a4a315，，bn1bna2n2a2n(a2n11)a2na2n3a2n3∴{bn}是以3为公差的等差数列，∴bn2(n1)33n1.10(229)（2）aaa155，24202，∴a1a3a5a19a21a41a20115510145S20155145300.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问