2008年北京高考文科数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 9页 · 388.5 K

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页,共150分,考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项:答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡颇擦干净后,再选涂其他答案。不能答在试卷上。一、本大题共8小题,第小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)若集合A={x|-2≤x≤3}≤3,B={x|x<-1或x>4},则集合A∩B等于(A){x|x≤3或x>4} (B){x|-1b>c (B)b>a>c(C)c>a>b (D)b>c>a(3)“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那么角A等于(A)135° (B)90° (C)45° (D)30°(5)函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为(A)f--1(x)=1+(x>1) (B)f--1(x)=1-(x>1) (C)f--1(x)=1+(x≥1) (D)f--1(x)=1-(x≥1)x-y+1≥0,(6)若实数x,y满足x+y≥0, 则z=x+2y的最小值是x≤0,(A)0 (B) (C) 1 (D)2(7)已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(A)30 (B)45 (C)90 (D)186(8)如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学(文史类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二 三总分151617181920分数二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。(9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan2a的值为 .(10)不等式的解集是 .(11)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么a·b的值为 .(12)若展开式中常数项为;各项系数之和为 .(用数字作答)(13)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=;函数f(x)在x=1处的导数f′(1)=.(14)已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-]上的任意x1,x2,有如下条件:x1>x2; ②x21>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.(16)(本小题共14分)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.(17)(本小题共13分)已知函数是奇函数.(Ⅰ)求a,c的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.(18)(本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。(19)(本小题共14分)已知△ABC的顶点A,B在椭圆上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.(20)(本小题共13分)数列{an}满足(Ⅰ)当a2=-1时,求λ及a3的值;(Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅲ)求λ的取值范围,使得存在正整数m,当n>m时总有an<0. 绝密★考试结束前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(北京卷)参考答案选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)(1)D(2)A(3)A(4)C(5)B(6)A(7)C(8)B二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)(9)(10)|x|x<-2|(11)-8(12)1032(13)2-2(14)②三、解答题(本大题共6小题,共80分)(15)(共13分)解:(Ⅰ)==因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以解得ω=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得因为0≤x≤,所以≤≤所以≤sin≤1.因此0≤≤,即f(x)的取值范围为[0,](16)(共14分)解法一:(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD,∴PC⊥AB.(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC取AP中点E,连接BE,CE∵AB=BP∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影,∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=,∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin解法二:(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t),∵|PB|=|AB|=2,∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arccos(17)(共13分)解:(Ⅰ)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以{解得a=0,c=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).当b<0时,由f′(x)=0得x=±x变化时,f′(x)的变化情况如下表:x(-∞,-)-(-,)(,+∞)f′(x)+0-0+所以,当b<0时,函数f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.当b>0时,f′(x)>0.所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(18)(共13分)解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,那么 P(EA)=即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是(Ⅱ)记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)=所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=(19)(共14分)解:(Ⅰ)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得 因为A,B在椭圆上, 所以 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 则 所以 又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即 所以 所以当m=-1时,AC边最长.(这时) 此时AB所在直线的方程为y=x-1.(20)(共13分)解:(Ⅰ)由于且a1=1, 所以当a2=-1时,得, 故 从而 (Ⅱ)数列{an}不可能为等差数列.证明如下: 由a1=1,得 若存在,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即 解得=3. 于是 这与{an}为等差数列矛盾,所以,对任意,{an}都不可能是等差数列.(Ⅲ)记根据题意可知,b1<0且,即>2且N*),这时总存在N*,满足:当n≥n0时,bn>0;当n≤n0-1时,bn<0. 所以由an+1=bnan及a1=1>0可知,若n0为偶数,则,从而当n>n0时an<0;若n0为奇数,则,从而当n>n0时an>0.因此“存在mN*,当n>m时总有an<0”的充分必要条件是:no为偶数,记no=2k(k=1,2,…),则满足 故的取值范围是4k2+2k(kN*).

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