山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题(A)

2024-04-25 · U1 上传 · 17页 · 1.1 M

运城市2024高三第二次模拟调研测试数学试卷类型:A考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围:高考范围。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则()A. B. C. D.2.已知圆锥的侧面积为,它的侧面展开图是圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为()A. B. C. D.3.已知向量和满足,,,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.4.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的左焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若函数在区间上恰有两个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.6.“五一”假期将至,某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择,其中“乔家大院”线路只剩下一个名额,其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名,每人只选择其中一条线路,四人选完后,恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有()A.360种 B.316种 C.288种 D.216种7.已知等差数列的前项和为,若,,则的取值范围是()A. B.C. D.8.已知正方形的边长为2,点P在以A为圆心,1为半径的圆上,则最小值为()A. B.C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数(每穗颖花数)、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地有两块面积相等的试验田,在种植环境相同的条件下,这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻,连续试验5次,水稻的产量如下:甲(单位:kg)250240240200270乙(单位:kg)250210280240220则下列说法正确的是()A.甲种水稻产量的极差为70B.乙种水稻产量的中位数为240C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差10.已知函数的定义域为,且对任意的,都有,若,则下列说法正确的是()A. B.的图象关于y轴对称C. D.11.如图,在棱长为2的正方体中,点是侧面内的一点,点是线段上的一点,则下列说法正确的是()A.当点是线段的中点时,存在点,使得平面B.当点为线段的中点时,过点A,,的平面截该正方体所得的截面的面积为C.点到直线的距离的最小值为D.当点为棱的中点且时,则点的轨迹长度为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知集合,,若,则的子集的个数为__________.13.已知,,则__________.14.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与交于A,B两点,且,若的面积为,其中O为坐标原点,则的值为___________.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求的值;(2)如图,,点D为边上一点,且,,求的面积.16.(本小题满分15分)长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能,较长时间有节奏的深长呼吸,能使人体呼吸大量的氧气,吸收氧气量若超过平时的7-8倍,就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态,加快了心肌代谢,同时还使心肌肌纤维变粗,心收缩力增强,从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查,调查男、女生人数均为200,统计得到以下2×2列联表:喜欢不喜欢合计男生12080200女生100100200合计220180400(1)试根据小概率值的独立性检验,能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因,从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人,再从这9人中抽取3人进行面对面交流,记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数,求X的分布列;(3)将频率视为概率,用样本估计总体,从该校全体学生中随机抽取12人,记其中喜欢长跑的人数为Y,求Y的数学期望.附:,其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.(本小题满分15分)如图1,在中,,,点是线段的中点,点E是线段上的一点,且,将沿翻折到的位置,使得,连接,,如图2所示,点是线段上的一点.图1图2(1)若,求证:平面;(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.18.(本小题满分17分)已知抛物线:的准线与圆:相切.(1)求的方程;(2)设点P是上的一点,点A,B是的准线上两个不同的点,且圆是的内切圆.①若,求点P的横坐标;②求面积的最小值.19.(本小题满分17分)已知函数.(1)若,求的图象在处的切线方程;(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围;(3)若数列满足且,记数列的前项和为,求证:. 运城市2024年高三第二次模拟调研测试·数学参考答案、提示及评分细则1.A因为复数满足,所以,所以.故选A.2.B设圆锥的底面半径为,母线长为,则,,解得,,所以此圆锥的高,所以此圆锥的体积.故选B.3.A因为,所以,又,,所以,解得,设与的夹角为,则,所以向量在向量上的投影向量为.故选A.4.D双曲线的一条渐近线方程为,所以.圆:的标准方程为,所以圆心为,,所以,又,解得,,所以双曲线的方程为.故选D5.C将函数的图象向右平移个单位长度,得到,所以,当时,,又函数在区间上恰有两个零点,所以,解得,即的取值范围是.故选C.6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中,没有人选择“乔家大院”线路,则报名情况有种.若小张、小胡、小李、小郭这四人中,恰有1人选择“乔家大院”线路,则报名情况有种.所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.7.B由题意知,所以,又,所以,所以.设等差数列的公差为,则,所以.所以所以,所以,即的取值范围是.故选B.8.D以A为坐标原点,,所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设,所以,又,,,所以,令,即,所以直线与圆有公共点,所以,解得,所以.故选D.9.ABD由表中数据可知,甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确;由表中数据可知,乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为240,故B正确;对于C,甲种水稻产量的平均数为,乙种水稻产量的平均数为,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数,故C错误;甲种水稻产量的方差为,乙种水稻产量的方差为,所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差,故D正确.故选ABD.10.AC令,,得,解得,故A正确;令,,所以,解得,令,所以,所以是奇函数,所以的图象关于原点对称,故B错误;因为,令,则,所以,令,则,又,所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以,所以,令,则,所以,所以,所以,故C正确,D错误.故选AC.11.ACD以为坐标原点,,,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则,,,,当点是线段的中点时,,设,所以,,,假设存在点,使得平面,则,,解得,所以存在点,使得平面,此时点E与点C重合,故A正确;取的中点F,连接,,,,,如图所示.则,,所以,又易得,,,所以梯形的面积为,所以过A,E,点的平面截该正方体所得的截面的面积为,故B错误;又,设,所以,,所以点到直线的距离,所以,此时,所以点E到直线的距离的最小值为,故C正确;取的中点G,连接,,,易得平面,又平面,所以,所以,则点在侧面内运动轨迹为以G为圆心,半径为2的劣弧,分别交,于,,则,则,所以点P的轨迹长度为,故D正确.故选ACD.12.8由题意知,又,所以,所以,解得,所以,所以,所以的子集的个数为.13.因为,即,所以,因为,所以,解得,,所以.14.因为的面积为,所以,在中,设,,由余弦定理可得,即,则,所以的面积,所以,即,由于,所以.又,所以是等边三角形,即,由椭圆的定义可得,所以,则,,所以,则.15.解:(1)因为,由正弦定理得,又,所以,所以,所以,又,,所以,,所以.(2)设,又,所以,.在中,由余弦定理得,解得,所以,,又,所以,,又,所以,所以的面积.16.解:(1)零假设为:学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.根据列联表中的数据,经计算得到,根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.050.(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人,其中男生的人数为:人,女生人数为:人.的所有可能取值为0,1,2,3,所以,,,,的分布列为:0123(3)由题意知,任抽1人喜欢长跑的概率,所以,所以.17.(1)证明:过点作,垂足为,在上取一点,使得1,连接,,如图所示.因为,,所以且,因为是的中点,且,所以且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)解:因为,,,平面,所以平面,又平面,所以,.又,所以,,两两垂直,故以为坐标原点,,,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.所以,,,.设平面的一个法向量,又,,所以令,解得,,所以平面的一个法向量.设,所以,设直线与平面所成角的大小为,所以,解得或,所以或.18.解:(1)由题意知的准线为,又的准线与圆:相切,所以,解得,所以的方程为.(2)设点,点,点,直线方程为,化简得.又圆是的内切圆,所以圆心到直线的距离为1,即,故,易知,上式化简得,,同理有,所以m,n是关于t的方程的两个不同的根,所以,.所以,又点是上的一点,所以,所以.①若,则,解得或(舍),所以点P的横坐标为3.②因为点到直线的距离,所以的面积,令,则,因为,,当且仅当时等号成立,所以,即面积的最小值为.19.(1)解:若,则,所以,所以,又,所以的图象在处的切线方程为,即.(2)解:,令,所以,当,即时,在上恒成立,所以在上单调递增,即在上单调递增,所以,所以在上单调递增,所以,符合题意;当,即时,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,即在上单调递减,在上单调递增,又,,所以存在,使得,所以当时,,所以在上单调递减,所以,不符合题意.综上,的取值范围是.(3)证明:因为,所以,即,所以是公差为的等差数列,又,所以,所以.由(2)知当时,,所以当,时,,即.所以,所以,又,所以.

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