2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第=1\*ROMANI卷（选择题）和第=2\*ROMANII卷（非选择题）两部分，第=1\*ROMANI卷第1至第2页，第=2\*ROMANII卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。答第=1\*ROMANI卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答第=2\*ROMANII卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式：MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\h\*MERGEFORMAT第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A）（B）（C）（D）（3）设p：11，则p是q成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）（A）（B）（C）（D）5、已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面6、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（）（A）（B）（C）（D）7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）8、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A），，（B），，（C），，（D），，10、已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）第二卷二．填空题11.的展开式中的系数是（用数字填写答案）12.在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于15.设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）；；；;.三.解答题16.在中，,点D在边上，，求的长。17.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）（18）（本小题12分）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，（1）求数列的通项公式；（2）记，证明.19.如图所示，在多面体中，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F（1）证明：(2)求二面角余弦值.（本小题13分）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.21.设函数.（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记上的最大值D；（3）在（2）中，取数学（理科）试题参考答案选择题(1)B(2)A(3)A(4)C(5)D(6)C(7)B(8)D(9)C(10)A填空题(11)35(12)6(13)4(14)(15)①③④⑤三、解答题（16）设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.又由正弦定理得.由题设知，所以.在中，由正弦定理得.（17）（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.得出.（Ⅱ）的可能取值为.依此求出各自的概率，列出分布列，求出期望.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件..（Ⅱ）的可能取值为....故的分布列为.（18）（I）解：曲线在点（1,2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为令y=0，解得切线与x轴交点的和坐标（II）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知.当时，.当时，因为，所以.综上可得对任意的，均有.（19）（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.（20）（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.（=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.（21）Ⅰ），.，.因为，所以.①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.（Ⅱ）时，，当时，取，等号成立，当时，取，等号成立，由此可知，函数在上的最大值为.（Ⅲ），即，此时，从而.取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1.