浙江省宁波市2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题

绝密★启用前宁波市2023学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠､不要弄破.选择题部分（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A.B.C.2D.2.若为锐角，，则（）A.B.C.D.3.已知平面，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高与父亲身高之间的关系，抽样调查后得出与线性相关，且经验回归方程为.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高164166170173173174180儿子身高165168176170172176178则下列说法正确的是（）A.儿子身高是关于父亲身高的函数B.当父亲身高增加时，儿子身高增加C.儿子身高为时，父亲身高一定为D.父亲身高为时，儿子身高的均值为6.已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（）A.B.C.D.8.已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若平面向量满足且，则（）A.的最小值为2B.的最大值为5C.的最小值为2D.的最大值为10.已知函数，（）A.若，则是最小正周期为的偶函数B.若为的一个零点，则必为的一个极大值点C.若是的一条对称轴，则的最小值为D.若在上单调，则的最大值为11.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（）注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.A.B.C.D.非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，则__________.13.某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有__________种.14.在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.（15分）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.17.（15分）三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为），第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.（1）若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能.（i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望；（ii）求第一个人获得手气王的概率；（2）在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.18.（17分）已知双曲线，上顶点为.直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.（1）若，（i）若，求；（ii）求证：为定值；（2）若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.19.（17分）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.（1）求证：函数是单峰函数；（2）已知为函数的最优点，为函数的最优点.（i）求证：；（ii）求证：.注：.宁波市2023学年第二学期高考模拟考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.A3.C4.B5.D6.C7.C8.A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BD10.ACD11.BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.213.1614.四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）平面平面平面.同理可得平面.又平面平面.平面平面.（2）法1：取中点，易知.平面平面，平面平面，平面.如图，建立空间直角坐标系，则.从而，得.又，设平面的法向量，有，得，解得，故设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.法2：取中点，则是平行四边形，所以.从而与平面所成角即为与平面所成角，设为.过作交于，过作交于，过作交于.因为平面平面，所以平面.所以从而平面.所以，从而平面.所以的长即为到平面的距离.由，可得.又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即.又，可得.在中，，所以，得.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.（15分）解：（1）时，，即.又，所以时，，即.又，所以，所以，所以数列成等比数列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，则，所以，所以.17.（15分）解：若第一个人抢到的金额数为个单位，第二个人抢到的金额数为个单位，第三个人抢到的金额数为个单位，我们将三个人抢到的金额数记作.（1）（i），所以的分布列为123.（ii）第一个人获得手气王时，三个人抢到的金额数只可能为，故第一个人获得手气王的概率.（2）记事件“三个人抢到的金额数为的一个排列”，事件“第一个人获得手气王”.所要求的是条件概率，有.当三个人抢到的金额数为的一个排列时，总金额数为9，故第一个人抢到的金额数可能为.又，，故.18.（17分）解：法1：（1）（i），所以.与联立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）（1）直线斜率存在时，可设直线的方程为，设由得所以.当时，由（i）可得；当时，设的斜率分别为..所以，.所以.因为在第一象限，所以，所以，所以.②直线斜率不存在时，可得，可得，所以，同理可得.综上可得，为定值，得证.（2）由（1）可得时，.①不存在，则，由①（i）可得，所以，所以.②不存在，则，则，此时，由图可得.③若和均存在，设，则与双曲线联立可得.所以.所以，所以.设与的外接圆半径分别为，从而.等号当且仅当时取到.所以与的外接圆半径之比的最大值为2.法2：（1）同法1（2）①②同法1③若和均存在，设，则.由三点共线可得.所以，所以.所以.所以，所以.下同法1.法3：（1）（i）同法1（ii）①时，由（i）可得；②时，设的斜率分别为.设，由在直线上可得.与联立可得，即，所以就是方程的两根.所以，，因为在第一象限，所以，所以，所以.综上可得，为定值，得证.（2）①②同法1③若和均存在，设，则，则.记直线的倾斜角为，则，所以所以.下同法1.19.（17分）解：（1）因为.因为，所以在上单调递减，又因为由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且时，，，所以在上递增，上递减，所以为单峰函数.（2）（i）令，则，令，因为为在上的最优点，所以为在的最优点，，所以，结合最优点的定义知，为在区间上的唯一零点.又由（1）知，在递增，递减，且.所以由零点存在性定理知在区间存在唯一的，使得，即，所以.（ii）第一次操作：取，由对称性不妨去掉区间，则存优区间为，为好点；第二次操作：为一个试验点，为了保证对称性，另一个试验点与关于区间的中心对称，所以；又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为.若，即，则（舍去）；若，即，则，即，解得或（舍）.则操作5次后的精度为..又，所以.所以，得证.