新疆维吾尔自治区2024届高三第二次适应性检测数学试题

新疆维吾尔自治区2024年普通高考第二次适应性检测数学（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，且，则A． B． C．2 D．2．已知集合，，则下列选项中正确的是A． B． C． D．3．若函数的图象关于点对称，则A． B． C．1 D．24．已知直线（为常数）与圆交于点，，当变化时，若的最小值为2，则A． B． C． D．5．设是等差数列，下列结论中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．过点且与曲线相切的直线方程为A． B．C．或 D．或7．设，，且，则A． B．C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则A．0 B．1 C． D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8B．若随机变量，，则C．已知经验回归方程为，且，，则D．根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可推断“与有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.00110．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，，那么D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等11．已知函数是定义在上的奇函数，且，若时，，函数．若与恰有2024个交点，，，，则下列说法正确的是A．B．函数的图象关于直线对称C．D．当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若，则_________．13．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为_________．（用数字作答）14．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，中，点为边上一点，且满足．（1）证明：；（2）若，，，求的长度．16．（15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%．（1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；（2）设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求的值．17．（15分）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．（1）求的方程；（2）设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．18．（17分）在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与，不重合，，是线段的两个三等分点，，，．（1）若平面和平面的交线为，证明：平面；（2）设平面、平面和底面圆所成的锐二面角分别为和，平面和底面圆所成的锐二面角为，若，求的值．19．（17分）已知函数，其中．（1）讨论的极值点个数，并说明理由；（2）若，设为的极值点，为的零点，且，求证：．新疆维吾尔自治区2024年普通高考第二次适应性检测数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．B3．D4．C5．C6．C7．B8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AC10．ABD11．BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．19214．200四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又，故，，由于，因此．（2）由，，得，，又为三角形的内角，则，由（1）知，故．因为，所以，故．16．解：（1）易知的所有取值为2，3，4，，，，故的分布列为：234则．（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“回答被采纳”为事件，由已知得，，，，，，，，解得．17．解：（1）设，，则．又因为，所以，即，又椭圆的离心率，所以，则，解得，故的方程为．（2）设，，，因为，所以，若，则，即与重合，与矛盾，若，则，即与重合，与矛盾，故，于是，将点代入，化简得，同理可得，，故，为方程的两根，于是，即，动点在定直线上．令直线，当与相切时，记，的距离为，则，联立可得，由，解得，又，则，此时，解得，，即切点为，直线，的距离为，故的最小值为．18．（1）证明：由已知易得是的中点，是的中点，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，由线面平行的性质定理可得，又平面，平面，平面（2）解：以为坐标原点，方向为轴，底面圆所在平面内垂直于方向为轴，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系．由对称性，不妨设，易得底面圆的半径为1，则：，，，，，，，易知底面圆的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，．，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，．，且，，，过点作的垂线，垂足为点．因为为圆柱的母线，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，故，所以为平面和底面圆所成锐二面角的平面角．．19．（1）解：由已知，的定义域为，①当时，，从而，所以在内单调递增，无极值点；②当时，令，则由于在上单调递减，，，所以存在唯一的，使得，所以当时，，即；当时，，即，所以是的唯一极值点．所以当时，在上有且仅有一个极值点．综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点．（2）证明：由题意得，即从而，即．令，其中，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，则，于是．因为当时，，又，故，即，两边取对数，得，于是，整理得．以上解法仅供参考，如有其他方法，酌情给分．参考答案解析1．D法一：，，，，．法二：，，，2．B，（A误）（B正确），（C误）（D错误）3．D关于对称则4．C．直线过，则解析如图：即（当且仅当时取得最小值）5．CA．（误）B．（误）C．应用一般不等式有：，又故不存在使原式取等情况，正确D．与后式或无关且、只可能同时大于或小于（误）6．切线，，有：解得或代入可得．7．B，，或（舍），8．A法一：I：内心：G重心：，联立解分线上点到角两边距离相等不难求得：，法二：设恰在上顶点，9．ACA：，正确B：仍为0.21，错误C：代入得，，正确D：，错误10．ABDC：与可呈任意关系，错误11．BCD为奇函数：，，有对称轴．有对称中心：，，有对称中心A：（误），B正确C：为奇函数且有对称中心，，D：图象为：求切线即可，D正确12．，，13．组合：种14．连接、、