安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月模拟数学试题

姓名___________座位号_________________________（在此卷上答题无效）数学本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则的共轭复数（）A． B． C． D．2．已知集合，，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（）A． B． C． D．5．已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项6．已知函数（且）有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知的内角，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（）A． B． C． D．8．已知函数满足，当时，，则（）A．为奇函数 B．若，则C．若，则 D．若，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9．已知函数（，）的部分图象如图，则（）A． B．函数的图象关于轴对称C．函数在上单调递减 D．函数在有4个极值点10．已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，。经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（）A．双曲线的方程为B．的面积为C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切11．已知正方体的棱长为1，，分别为棱，上的动点，则（）A．四面体的体积为定值 B．四面体的体积为定值C．四面体的体积最大值为 D．四面体的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．13．已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为________，的面积为________（为坐标原点）．14．已知函数，当时的最大值与最小值的和为________．四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．16．（15分）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：学生获胜概率0.40.60.8获胜积分654（1）求甲班至少获胜2场的概率；（2）记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望．17．（15分）将正方形绕直线逆时针旋转，使得到的位置，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面平面；（2）点为上一点，若二面角的余弦值为，求．18．（17分）已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．（1）①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；（2）若点在圆上，求面积的最大值．19．（17分）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．数学参考答案题号1234567891011答案DCDACACCBDBDBCD1．【解析】，故，故选D．2．【解析】由已知，所以，又，所以，故选C．3．【解析】选D．4．【解析】由已知，时，，，，，故，，故选A．5．【解析】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由，解得．所以选C．6．【解析】问题等价于函数的图像与直线，有两个公共点，当时，由图象得，故；当时，由图象得，不符合条件．所以选A．7．【解析】由已知得，故，所以，由，得，面积的最大值为，故选C．8．【解析】令，，则；令，，则．令，得，故为偶函数．任取，，，则，则，故在上为减函数．由已知，可得，故，解得，且．若，则，故选C．9．【解析】由图可知的周期为：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A错误；所以因为为偶函数，B正确；，则，故在上单调递增，C错误；因为，，，，故D正确。所以选BD。10．【解析】由已知得，由双曲线定义知：，，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程为，A错误。的面积为，B正确。取的中点，，两圆内切，故C错误。取的中点，则，两圆外切，故D正确。11．【解析】因为的面积为，到平面的距离不是定值，故A错误；因为的面积为，到平面的距离为，体积为，故B正确；因为的最大值为，到平面的最大距离为，故四面体的体积最大值为，故C正确。过点作，，，设，，则，，，，，，故四面体的体积为，其最大值为，故D正确．12．【答案】37.5【解析】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位数是37.5．13．【答案】，【解析】由已知得抛物线的方程为，所以，直线的方程为，与联立整理得，故，，故的面积为．14．【答案】【解析】，当时，，递增；当时，，递减；，，，故最大值与最小值的和为：．15．【解析】（1）由已知，所以，解得，故，所求切线方程为：，即（2）由已知函数，定义域为，由，解得或随的变化和的变化如下23＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数单调递增区间为和，单调递减区间为当时，取得极大值，当时，取得极小值16．【解析】（1）记，，参赛获胜事件分别记为，，表示，参赛失败分别记为，，，所以，，，，，则甲班至少获胜2场事件记为，则所以甲班至少获胜2场的概率为0.656（2）由已知取值为0，4，5，6，9，10，11，15，，，，，，，，，所以17．【解析】（1）由已知得平面平面，，所以平面因为平面，故因为是正方形，所以，平面，，平面又平面，所以平面平面。（2）又（1）知：，，两两垂直，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图。设，，则，，，，故，，设平面的法向量为，则，故，取，则，所以设平面的法向量为，，故，取，则，所以所以，由已知得化简得：，解得或（舍去）故，即18．【解析】（1）①当斜率存在时，，设方程为：与：联立整理得：，由已知得：化简得：因为，则，即，所以方程为：，即，故直线的方程为当斜率不存在时，，直线的方程为或满足上式。所以直线的方程为②由①知，设点坐标为，则直线的方程为由点的坐标为，则，，故直线的方程为（2）由（1）知直线的方程为，由题意知，与：联立整理得：因为，所以因为，，则，所以点到直线的距离为：所以面积当时，令，所以，故在单调递增，所以的最大值为由对称性可知面积的最大值为19．【解析】（1）可求得，设，则，，设点，，故所以（2）设，，则，，，故所以坐标变换公式为该变换所对应的二阶矩阵为（3）设矩阵，向量，，则．，对应变换公式为：，所以故对应变换公式同样为所以