天津市南开区2023-2024学年高三下学期一模试题 数学 Word版含答案

2024-04-05 · U1 上传 · 9页 · 534.6 K

20232024学年度第二学期高三年级质量监测(一)数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页。祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1、答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;3、本卷共9小题,每小题5分,共45分。参考公式:球的体积公式,其中R表示球的半径.如果事件A,B互斥,那么.对于事件A,B,,那么.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知全集,集合,则()(A) (B) (C) (D)(2)若,则“a,b,c成等比数列”是“”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)若,则的最小值是()(A)2 (B)a (C) (D)3(4)函数的图象可能为()(A) (B)(C) (D)(5)已知,,则()(A)a<b<c (B)c<b<a (C)b<a<c (D)b<c<a(6)已知随机变量,且,则()(A) (B) (C) (D)(7)关于函数,则下列结论中:①为该函数的一个周期;②该函数的图象关于直线对称③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象:④该函数在区间上单调递减所有正确结论的序号是()(A)①② (B)③④ (C)①②④ (D)①③④(8)在长方体中,,其外接球体积为,则其外接球被平面截得图形面积为()(A) (B) (C) (D)(9)已知O为坐标原点,双曲线C:的左、右焦点分别是,离心率为,点P是C的右支上异于项点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是M,,则点P到C的两条渐近线距离之积为()(A) (B) (C)2 (D)4第Ⅱ卷注意事项:1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题2、本卷共11小题,共105分。二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分。(10)i是虚数单位,复数,则的虚部为______(11)若的展开式中的系数为160,则实数a的值为______(12)直线被圆截得的弦长的最小值为______(13)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球,一个3号球;3号盒子内装有三个1号球,两个2号球,若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则在第一次抽到2号球的条件下,第二次抽到1号球的概率为______,第二次抽到3号球的概率为______(14)平面四边形ABCD中,,E为BC的中点,用和表示______;若,则的最小值为______(15)已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且,若函数有唯一零点,则实数的值为______三、解答题:本大题共5题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(16)(本小题满分14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(Ⅰ)求a的值:(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)的值(17)(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD,,点E是棱PC上靠近P端的三等分点,点P是棱PA上一点.(1)证明:平面BDE(II)求点F到平面BDE的距离;(1II)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.(18)(本小题满分15分)已知椭圆C:的一个焦点与抛物线的焦点F重合,抛物线的准线被C截得的线段长为.(I)求椭圆C的方程;(II)过点F作直线l交C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使为定值?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.(19)(本小题满分15分)在正项等比数列中,.(Ⅰ)求的通项公式:(Ⅱ)已知函数,数列满足:.(i)求证:数列为等差数列,并求的通项公式(ii)设,证明:(20)(本小题满分16分)已知,a为函数的极值点,直线l过点,(Ⅰ)求的解析式及单调区间:(Ⅱ)证明:直线l与曲线交于另一点C:(Ⅲ)若,求n.(参考数据:) 2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测(一)参考答案数学学科一、选择题:(本题共9小题,每题5分,共45分)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)答案CBDAADCBB二、填空题:(本题共6小题,每题5分,共30分)公众号:高中试卷君(10) (11)2; (12);(13)(第一个空3分,第二个空2分);(14)(第一个空3分,第二个空2分); (15)-1或三、解答题:(其他正确解法请比照给分)(16)解:(Ⅰ)由及余弦定理得,因为,所以.(Ⅱ)由及得由正弦定理得(Ⅰ),因为,所以或.若,则,与题设矛盾,因此.(Ⅲ)由(Ⅰ)得,因为,所以所以所以另解:因为所以(17)解:因为平面PAD,所以.因为,所以.故以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.(Ⅰ),设平面BDE的一个法向量为,则,即,令,则.又,可得,因为平面BDE,所以平面BDE.(Ⅱ)因为平面BDE,所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.,则点A到平面BDE的距离为(Ⅲ),设平面BDE的一个法向量为,则,即,令,则.设平面BDE与平面PBC的夹角为α,则故平面BDE与平面PBC的夹角的余弦值为.(18)解:(Ⅰ)抛物线的焦点,准线方程为,由题意得,解得,所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)假设存在符合条件的点,设,则,,①当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,由,得,则,所以,因此,若对于任意的t值,上式为定值,则,解得,此时,为定值.②当直线l的斜率为0时,综合①②知,符合条件的点M存在,其坐标为.(19)解:(Ⅰ)因为正项等比数列中,,所以.又因为,所以,进而公比,所以.(Ⅱ)(i)因为,所以,即,所以数列是以为首项,公差为1的等差数列.所以,即.(ii).当时,左式,右式,左式=右式.当时,则所以,即综上:当时,(20)解:(Ⅰ),依题意有,解得,所以.当与时,;当时,;所以在,单调递增,在单调递减.(Ⅱ)直线AB的方程为,即.由,得,①,显然和为方程的①解.设,则,令得,当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.因为,,所以有且仅有2个零点,其中,即直线AB与曲线交于另一点C,且C的横坐标为.(Ⅲ)由(Ⅱ)得,即,设,则,所以,代入可得.设,则,令得.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.因为,,,所以存在唯一的,使得.此时因此,,所以.

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