2024届安徽省池州市普通高中高三二模数学试题

姓名__________座位号__________（在此卷上答题无效）绝密★启用前2024年池州市普通高中高三教学质量统一监测数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的实部为（）A.1B.-1C.2D.-22.已知向量满足，则与的夹角为（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.7B.-7C.D.4.对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.6.甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（）A.30种B.60种C.45种D.90种7.已知实数满足，若的最大值为4，则（）A.B.C.D.8.已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（）A.若圆与圆内切，则圆与圆内切B.若圆与圆外切，则圆与圆外切C.若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆D.若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲乙两班每场比赛平均进球数､失球数及所有场次比赛进球个数､失球个数的标准差如下表：进球个数平均数失球个数平均数进球个数标准差失球个数标准差甲班2.31.50.51.1乙班1.42.11.20.4下列说法正确的是（）A.甲班在防守中比乙班稳定B.乙班总体实力优于甲班C.乙班很少不失球D.乙班在进攻中有时表现很好有时表现较差10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.在区间内有2个极大值点C.D.将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称11.已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（）A.图象关于点对称B.图象关于点对称C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为__________.14.如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则__________，该正三棱柱的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：（1）求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望；（2）规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数.16.（15分）记为数列的前项的和，已知.（1）求的通项公式；（2）令，求.17.（15分）如图，在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，，点分别在棱上，，且三棱锥的体积为.（1）求的值；（2）若点满足，求直线与平面所成角的余弦值.18.（17分）已知双曲线的右焦点，离心率为，过的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.（1）当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；（2）直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.19.（17分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对任意的，有.（1）试问函数是否属于集合？并说明理由；（2）若函数，求正数的取值集合；（3）若函数，证明：.2024年池州市普通高中高三教学质量统一监测数学评分参考一､填空题题号12345678答案CDDABBDC二､多选题题号91011答案CDBCDABC11.【解析】由是奇函数得，所以函数关于点对称，选项A正确；由函数关于点对称得，所以，解得.由得点在函数图象上，又点在函数图象上，所以函数图象关于直线对称.由关于点对称，关于直线对称得关于对称【理由如下：在图象上取点，则点在函数图象上，由关于对称，得点和都在图象上】，选项B正确.由函数关于点对称得，由函数关于点对称得，又由得.当时，所以，解得【理由略】；当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减，所以，又，所以，这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，选项C正确.综上，当时，，显然，由函数关于对称，可知，由关于点对称得.选项错误.综上所述，选项正确.三､填空题12..13..14.1；.【对一个得3分，对两个得5分】14.【解析】由题意可知：过点作平面必与棱相交，且交点分别记为，如图1所示，接下来，过点分别作平行于平面的平面，为使得每相邻两个平面间的距离都相等，则点为棱的三等分点（靠近点），点为棱的中点，如图2所示.再过点作平行于平面的平面，即可满足题设要求.由上述分析可知平面，过点作的垂线，垂足为，则，则即为与间的距离，所以.设该正三棱柱的底面边长为，则，，所以，所以，所以，所以体积为.四､填空题15.解：（1）由题意知，所有可能取的值为的分布列如下：1230.50.30.2（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率方法一：所有可能取的值为，且所以使得取得最大值时，整数的值为3方法二：由得所以所以所以使得取得最大值时，整数的值为316.解：（1）①当时②①-②得：化简得又是以2为首项，1为公差的等差数列的通项公式为（2）由（1）知：当时，又是以为首项，为公比的等比数列注：其它解法参照以上评分细则.17.解：（1）如图所示，取中点，连接是边长为6的正三角形，为中点，且又同理可知又平面又平面过点作，点为垂足又平面为三棱锥的高在中，又①又在中，由余弦定理得②由①②得（2）如图，过作，以为坐标原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，则且，取的方向向量.由（1）知又面面面又，同理可证面又平面平面所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，且记为设平面的法向量，则取所以直线与平面所成角的余弦值注：其它解法参照以上评分细则.18.解：（1）由题意知，所以的方程为直线的倾斜角为，过点直线的方程为设，联立，得与互相垂直的倾斜角为由对称性可知（2）方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得①联立得②联立，得是的中点③由②③得，即④同理联立得⑤由①④⑤得⑥联立，得取中点，所以⑦由⑥⑦得与重合，即是中点.方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得设的坐标分别为联立，得，又是的中点理可得的中点又直线恒过定点，，同理三点共线所以的中点在上，又上的点在上所以与重合，即是中点方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得①联立得，所以②设的坐标分别为，代入得两式相减得，变形为，即③由②③得，即④同理联立得，所以⑤由①④⑤得，所以⑥取中点，同理可证⑦由⑥⑦得.结合均在直线上，所以与重合，即是中点.注：其它解法参照以上评分细则.19.（1）函数不属于集合.理由如下：由题意得，由得，结合的任意性，得，显然无解所以不存在实数，对任意的，有.即函数不属于集合.（2）若函数，求正数的取值集合；由题意得：又由得结合的任意性，得所以，所以，又，即所以正数的取值集合为.（3）函数得，即，由题意可得：存在非零常数，使得即方程有解令，即函数有零点对函数求导得（i）当时，在单调增，又，当时，【右侧找点如下：取，则】所以有根记为，且①所以在上单调减，上单调增考虑到当时，，当时，【找点如下：任意给定正实数左侧找点如下：当时，；右侧找点如下：当时，（这里用到了）】所以时，即可保证函数有零点，即②由①平方-②平方得，由得③将③代入①有，化简得由得④（ii）当时，则，用替换（i）中的，得即⑤由④⑤得，即（iii）当时，，取，则综上，