柳州市2024届高三第三次模拟考试数学(考试时间120分钟满分150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有90%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,80%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.B.C.D.2.已知是虚数单位,若为实数,则实数的值为()A.1B.C.0D.3.已知,则()A.B.C.2D.34.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为,已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.B.10.1C.D.5.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有()A.60种B.48种C.30种D.10种6.已知是半径为2的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为()A.B.C.D.10.椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点()A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.与圆的关系与有关8.设函数是定义在上的奇函数,且对于任意的,都有,若函数,则不等式的解集是()A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.若,则()A.B.C.D.10.设是至少含有两个元素的集合,在上定义了一个二元运算“*”(即对任意的,对于有序元素对,在中有唯一确定的元素与之对应).若对任意的,有,则对任意的,下列等式中恒成立的是()A.B.C.D.11.正三棱柱中,,点满足,其中,则()A.当时,与平面所成角为B.当时,有且仅有一个点,使得C.当时,平面平面D.若,则点的轨迹长度为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若是偶函数,则_________。13.已知过原点的一条直线与圆相切,且与抛物线交于两点,若,则_________。14.在中,角的对边分别为的平分线交于,且,则的最小值为_________。四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.如图,在四棱锥中,四边形为正方形,平面是中点。(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值。16.已知数列满足:。(1)求数列的通项公式;(2)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和。17.某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如下表所示:试销单价(百元)123456产品销量(件)9186787370附:参考公式:,参考数据:(1)求的值;(2)已知变量具有线性相关关系,求产品销量(件)关于试销单价(百元)的线性回归方程(计算结果精确到整数位);(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值,当销售数据的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“有效数据”,现从这6组销售数据中任取2组,求“有效数据”个数的分布列和期望。18.已知函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若为的导函数,设。证明:对任意19.是一个动点,与直线垂直,垂足位于第一象限,与直线垂直,垂足位于第四象限,且。(1)求动点的轨迹方程;(2)设,过点的直线与曲线交于两点(点在轴上方)。为直线的交点,当点的纵坐标为时,求直线的方程。柳州市2024届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2024.3一、选择题12345678CDCACBAD二、多选题91011选1个(A或C选2个(AC)选1个(B或C或D)选2个(BC或BD或CD选3个(BCD)选1个(A或C或D)选2个(AC或AD或CD)选3个(ACD)3分6分2分4分6分2分4分6分三、填空题12.13.314.18四、解答题15.(1)平面1分四边形为正方形,平面2分又平面.3分为中点,4分平面.5分(2)两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设6分则7分设平面的法向量则,令,得9分平面,故平面的法河量11分12分二面角的余弦值为13分16.解:(1)当时,由,得1分当时,3分两式相减,得4分5分当时,6分综上可知,7分(2)由题意8分9分12分14分15分18.(1)由,得,1分解得.3分(2)4分而,,6分7分所求的线性回归方程为:8分(3)由(2)可知,,9分故有效数据为10分的取值可能为0,111分12分13分则的分布列为0115分注:若第(2)问代整数计算:7分所求的线性回归方程为:8分由(2)可知,,9分故有效数据为10分的取值可能为11分12分13分则的分布列为01215分18.(1)1分3分函数在点处的切线方程为:3分(2)函数的定义域为令4分当时,,故在单调递减5分,6分当时,单调递增当时,单调递增的单调递增区间为,单调递增区间为8分(3)10分令11分当时,单调递增;当时,单调递减13分14分令当时,单调递增,故15分16分17分19.(1)设,直线的倾斜角为,则1分3分4分5分由于位于第一象限,位于第四象限,所以的轨迹方程7分(2)设8分联立:,化简得:9分直线,直线10分联立消去得:13分又14分15分故点,直线的斜率为:联立,消去化简得:故直线的方程为17分
2024届广西柳州市高三下学期第三次模拟考试数学试题
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