2024届四川省成都市高三二诊考试数学（理）参考答案

成都市级高中毕业班第二次诊断性检测２０２１数学(理科)参考答案及评分意见第卷选择题共分Ⅰ (,６０)一、选择题:每小题分共分(５,６０)１．B;２．C;３．B;４．C;５．A;６．B;７．D;８．C;９．D;１０．D;１１．A;１２．D．第卷非选择题共分Ⅱ (,９０)二、填空题:每小题分共分(５,２０)三棱柱三棱锥圆锥等其他正确答案同样给分－－＋１３．,,();１４．(∞,２)∪(１,∞);１５．４;１６．②③④．三、解答题:共分(７０)１７ư解:当n＝时a＝S＝分(Ⅰ)１,１１(２)０．ƺƺ１nnn当n时anSnSn２２－１≥２,＝(２)－－１(２)＝(２＋２＋ƺ２－２)－(２＋２＋ƺ２－２)＝２．分ƺƺ５又当n＝时a＝不满足上式１,１０,n,＝,所以an＝０ １分{nn．ƺƺ６２, ≥２Sx＝x＋x２＋x３＋＋x２０２４－(Ⅱ)∵２０２４()ƺ２,S′x＝＋x＋x２＋＋x２０２３分∴２０２４()１２３ƺ２０２４．ƺƺ７S′＝＋×＋×２＋＋×２０２３２０２４(２)１２２３２ƺ２０２４２ ƺƺ①,S′＝＋×２＋×３＋＋×２０２４２２０２４(２)２２２３２ƺ２０２４２ ƺƺ②,得－S′＝＋×＋×２＋＋×２０２３－×２０２４分①－②,２０２４(２)１１２１２ƺ１２２０２４２ƺƺ１０－２０２４＝１２－×２０２４＝－×２０２４－分－２０２４２２０２３２１．ƺƺ１１１２S′＝×２０２４＋分∴２０２４(２)２０２３２１．ƺƺ１２１８ư解:已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布Nμσ２(Ⅰ)(,),由题意可得μ＝分６５．ƺƺ１－Pμ－σXμ＋σ２２８＝．又１(２≤≤２)＝．分∵００２２８,００２２８．ƺƺ３１００００２即PXμ＋σ＝．μ＋σ＝解得σ＝分(＞２)００２２８．∴２８７,１１．ƺƺ４甲市学生A在该次考试中成绩为分且μσ∵７６,７６＝＋,－Pμ－σXμ＋σ又１(≤≤)＝．即PXμ＋σ＝．分０１５８７,(＞)０１５８７．ƺƺ５２学生A在甲市本次考试的大致名次为名分∴１５８７．ƺƺ６在本次考试中抽取名化学成绩在μ－σμ＋σ之内的概率为．(Ⅱ),１(３,３)０９９７４．抽取名化学成绩在μ－σμ＋σ之外的概率为．分∴１(３,３)０００２６．ƺƺ７数学理科二诊考试题参考答案第页共页()“” １(５){#{QQABKYwEogAgAAJAAAgCQwEYCgGQkAACAAoGQFAAoAAAiQFABCA=}#}随机变量X服从二项分布即X~B．分∴,(４０,０００２６)．ƺƺ９PX＝－PX＝＝－．４０．分∴(≥１)１(０)１０９９７４≈００９８９．ƺƺ１０X的数学期望为EX＝np＝×．＝．分４００００２６０１０４．ƺƺ１２１９ư解:取AB的中点为T连接PTCT(Ⅰ),,．四面体P－ABC为正四面体∵,ABP为正三角形分∴△．ƺƺ１又T为AB的中点,PTAB同理可得CTAB分∴⊥．⊥．ƺƺ３PTCT＝TPTCT平面PTC∵∩,,⊂,AB平面PTC分∴⊥．ƺƺ５又PC平面PTCABPC分⊂,∴⊥．ƺƺ６取PC的中点为Q连接ETFTQT设PA＝a．(Ⅱ),,,,６由得AB平面PTC(Ⅰ)⊥．ETFT平面PTCABETABFT∵,⊂,∴⊥,⊥．PTE为二面角P－AB－E的平面角ETF为二面角E－AB－F的平面角∴∠,∠,FTC为二面角F－AB－C的平面角分∠．ƺƺ７由图形对称性可判断PTE＝FTC分∠∠．ƺƺ８易得PT＝CT＝aTQPC３３,∴⊥．在TPQ中TQ＝PT２－PQ２＝a△,３２．在ETQ中ET＝EQ２＋TQ２＝a同理可得FT＝a△,１９．１９．PT２＋ET２－PE２ET２＋FT２－EF２PTE＝＝７５７ETF＝＝１７∴cos∠PTET,cos∠ETFT．２Ű５７２Ű１９分ƺƺ１１PTEETFPTEETF∵cos∠＞cos∠,∴∠＜∠．二面角E－AB－F的平面角最大其余弦值等于１７分∴,．ƺƺ１２１９２０ư解:设MxySx－y(Ⅰ)(１,１),(１,１)．yy１－１kAM＝kBS＝分∵xa,xa,ƺƺ１１＋１－yyy２１－１－１kAMkBS＝＝分∴Űx＋aŰx－ax２a２．ƺƺ２１１１－x２y２Mxy在双曲线C－＝a上∵(１,１):a２１(＞０),５x２－１－y２(２)－１５a１kAMkBS＝＝＝－５＝－５解得a＝分∴Űx２－a２x２－a２a２．２．ƺƺ４１１４x２y２双曲线C的标准方程为－＝分∴１．ƺƺ５４５设Nxy直线MNx＝my＋(Ⅱ)(２,２),:３．数学理科二诊考试题参考答案第页共页()“” ２(５){#{QQABKYwEogAgAAJAAAgCQwEYCgGQkAACAAoGQFAAoAAAiQFABCA=}#}ìx＝my＋ï３,由íx２y２消去x得m２－y２＋my＋＝ï－＝,(５４)３０２５０．î１４５m±２＝m２＋≠,Δ４００(１)＞０．５－my＋y＝３０yy＝２５．分∴１２m２－,１２m２－ƺƺ６５４５４y直线BMy＝１x－:x－(２),１２yy－１－２令x＝解得yP＝同理可得yQ＝．分１,x－．x－ƺƺ７１２２２yy以PQ为直径的圆的方程为x－x－＋y＋１y＋２＝∵(１)(１)(x－)(x－)０,１２２２分ƺƺ８由对称性可得若存在定点则定点一定在x轴上,,．yy令y＝得x－２＋１２＝０,(１)x－Űx－０．１２２２yyyyx－２＋１２＝x－２＋１２∴(１)x－x－(１)my＋my＋(１２)(２２)(１１)(２１)２５m２－＝x－２＋５４(１)－mm２２５＋m３０＋Űm２－Űm２－１５４５４＝x－２＋２５(１)m２－m２＋m２－２５３０５４＝x－２－２５＝分(１)０．ƺƺ１０４x－２＝２５解得x＝－３或x＝７∴(１),．４２２以PQ为直径的圆恒过点－３７分∴(,０),(,０)．ƺƺ１２２２２１ư解:当a＝１时fx＝１x－xf＝１(Ⅰ),()e,(０)≠０．８４４x－１x－３f′x＝１－１x２f′′x＝１＋１x２分∵()e,()e,ƺƺ１４２４４当x＋时f′′x∈(０,∞),()＞０,函数f′x在＋上单调递增分∴()(０,∞)．ƺƺ２１由f′１＝１４－f′＝１－１()e１＜０,(１)e＞０,４４４２x１使得f′x＝分∴∃０∈(,１),(０)０．ƺƺ３４当xx时f′xfx单调递减∴∈(０,０),()＜０,();数学理科二诊考试题参考答案第页共页()“” ３(５){#{QQABKYwEogAgAAJAAAgCQwEYCgGQkAACAAoGQFAAoAAAiQFABCA=}#}当xx＋时f′xfx单调递增∈(０,∞),()＞０,()．１又f１＝１１００－１f＝１－f＝１４－()e＞０,(１)e１＜０,(４)e２＞０,１００４１０４４fx有两个零点分∴()．ƺƺ５存在b＋使得当xbb＋时fxx－ax＋＋a－(Ⅱ)∵∈(０,∞),∈(,２０２４),()＞eln(１)２１,即存在b＋使得当xbb＋时a－x－＋ax＋－x∈(０,∞),∈(,２０２４),(２１)(e１)ln(１)＞０．设gx＝a－x－＋ax＋－x()(２１)(e１)ln(１)．当a１时设hx＝x－x－(i)＞,()e１．２h′x＝x－∴()e１．h′x在＋上单调递增又h′＝∵()(０,∞),(０)０,hx在＋上单调递增又h＝∴()(０,∞)．(０)０,hx在x＋上恒成立分∴()＞０∈(０,∞)．ƺƺ６gx＝a－x－＋ax＋－xa－x－x∴()(２１)(e１)ln(１)＞(２１)．当x１时gx∴≥a－２,()＞０．(２１)取b＝１当xbb＋时gx恒成立a－２,∈(,２０２４),()＞０．(２１)当a１时满足题意分∴＞．ƺƺ８２当a１时设wx＝x＋x＋－(ii)≤,()２eln(１)２．２w′x＝x＋１∴()２ex＋．１w′x在x＋上恒成立wx在＋上单调递增∵()＞０∈(０,∞),∴()(０,∞)．又w＝wx在x＋上恒成立分(０)０,∴()＞０∈(０,∞)．ƺƺ９gx＝ax＋x＋－－x－x＋x＋１x＋－－x－x＋∴()[２eln(１)２]e１≤eln(１)１e１２＝１x＋－x．分ln(１)ƺƺ１０２设nx＝１x＋－x()ln(１)．２２－x－１－３x－x＋()n′x＝１－１＝(１)＝２４∴()x＋xx＋xx＋x．２(１)２２(１)２(１)n′x在x＋上恒成立nx在＋上单调递减∵()＜０∈(０,∞),∴()(０,∞)．又n＝nx在x＋上恒成立(０)０,∴()＜０∈(０,∞)．故gx恒成立不合题意()≤０,．综上a的取值范围为１＋分,(,∞)．ƺƺ１２２数学理科二诊考试题参考答案第页共页()“” ４(５){#{QQABKYwEogAgAAJAAAgCQwEYCgGQkAACAAoGQFAAoAAAiQFABCA=}#}２２ư解:由曲线C的参数方程可得x－２＋y２＝２α＋２α分(Ⅰ)(２)cossin,ƺƺ１化简得曲线C的普通方程为x－２＋y２＝分(２)１．ƺƺ３曲线C的极坐标方程为ρ２－ρθ＋＝分(Ⅱ)４cos３０．ƺƺ５设AρθBρθ＋πMρθ分(１,１),(１,１),(,)．ƺƺ６２ρ＝２ρθ＝θ＋π∵１,１,２４ρ＝ρθ＝θ－π分∴１２,１．ƺƺ８４ρ２－×ρθ－π＋＝∴(２)４２cos()３０．４M的轨迹的极坐标方程为ρ２－ρθ－π＋３＝分∴２２cos()０．ƺƺ１０４２２３ư解:x＋a＋b易知b(Ⅰ)∵＜４,４－＞０,b－a－x－a－b．分∴４＜＜４ƺƺ３fx的解集为{xx}∵()＜４０＜＜６,b－a－＝a＝－４０,解得３,分∴{－a－b＝{b＝．ƺƺ５４６１由得f(x)＝x－＋(Ⅱ)(Ⅰ)３１,f(x)的最小值为即m＋n＋p＝分∴１,２３１．ƺƺ６n＋p１＋１＝１＋１m＋p＋n＋p＝＋＋２＋∴m＋pn＋p(m＋pn＋p)(２２)１１m＋p２２２２２m＋p２分n＋p≥４．ƺƺ９２当且仅当m＋p＝n＋p１时等号成立２２＝,．２１＋１的最小值为分∴m＋pn＋p４．ƺƺ１０２２数学理科二诊考试题参考答案第页共页()“” ５(５){#{QQABKYwEogAgAAJAAAgCQwEYCgGQkAACAAoGQFAAoAAAiQFABCA=}#}