2024届浙江宁波十校高三3月联考数学答案

宁波“十校”2024届高三3月联考数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）12345678DCDBBCAD二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）91011BCDABDABC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）71012．13．1614．253四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本题共13分）解：（1）由题意：sinABABCBACACcoscossincoscossincoscossin，------------2分整理得cosABCBCACBcossinsincoscossin0，故cosA0或sinCB0，π当cosA0时，A，ABC为直角三角形，----------------------------------------------3分2当sinCB0时，BC，ABC为等腰三角形．---------------------------------------5分ab（2）由正弦定理得asinBbsinA1，-------------------------------------------7分sinABsin1211∴a,∴2sin2BAsin-----------------------------------------------9分sinBa222bc又BCABC,π，2sin2BABBBsin1cos2sin212sin(2)，---------------------------11分4π0B2ππ因为ABC为锐角三角形，所以，解得B，π420ABπ223∴当2B时，即B时取最大值，最大值为21.428综上，最大值为21.----------------------------------------------------------------------------13分16．（本题共15分）解：（1）证明：由四边形ABCD是直角梯形，AB=3，BC=2AD=2，AB⊥BC，宁波“十校”数学参考答案第1页共6页可得DC=2，∠BCD=，从而△BCD是等边三角形，BD=2，BD平分∠ADC.3∵E为CD的中点，∴DE=AD=1，∴BD⊥AE，-----------------------------------3分又∵PB⊥AE，PB∩BD=B，∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.----------------------------------------------6分（2）在平面PBD内作PO⊥BD于O，连接OC，又∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，则∠PCO=3∴易得OP=3.-----------------------------------------------------------------------------------------8分又OC=3，PB=PD，PO⊥BD，所以O为BD的中点，OC⊥BD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C（0,3,0）D(-1,0,0)，P(0,0,3)----------------------------------------------------------------------------------10分设PNPDPC，易得N(,3,3(1))BNPC056由得,，满足题意，BNPD013136所以N点到平面ABCD的距离为3(1)--------------------------------------15分1317．（本题共15分）解：ex1e1x(x1)1x1（），则x分1f1xklnxf1x2k22()ek-----1xxxxxx当k0时，fx1()0的两根为x11，xk2ln.①若ke，fx1在(0,)上单调递增；-------------------------------------------------2分②若ke，则x21lnk1x，则fx1在(0,1)上单调递增，在(1，lnk)上单调递减，在(lnk,)上单调递增；---------------------------------------------------------4分③若0ek，则x21lnk1x，则fx1在(0,lnk)上单调递增，在(lnk,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.综上，当ke时，无单调减区间，单调增区间为(0,)；当ke时，单调减区间为(1，lnk)，单调增区间为(0,1)和(lnk,)；当0ek时，单调减区间为(lnk,1)，单调增区间为(0,lnk)和(1,).-------------6分（2）根据题意可知，函数fx的定义域为0,，宁波“十校”数学参考答案第2页共6页e1xx3ex33x2exkx2则，fx64k2x3xxxxexkx2由函数fx有三个极值点x,,xx可知fxx30在0,上至少有三个123x4exkx2实数根；显然f30，则需方程0，x4也即e0xkx2有两个不等于3的不相等的实数根；--------------------------------------8分ex由e0xkx2可得k，x0,，x2exe2xx令gx,x0,，则gx,x0,，-----------------------------10分x2x3显然当x0,2时，gx0，即gx在0,2上单调递减；当x2,时，gx0，即gx在2,上单调递增；e2所以gxg2，----------------------------------------------------------------------------12分4ex画出函数gx,x0,与函数yk在同一坐标系下的图象，x2e2e3ex由图可得k且k时，k在0,上有两个不等于3的相异的实数根，49x2e2e3e3exkx2经检验可知当时，导函数在左右k,,fxx340x1,,x2x3499x符号不同，即x1,,x2x3均是fx0的变号零点，满足题意；e2e3e3因此实数k的取值范围是k,,-------------------------------------------15分499e3（注：未去掉，扣1分）918．（本题共17分）解：1（1）依题意，XB~5,，21511541则，1，PX(0)PX(1)C523222321321105152312，3PX(2)C5PX(3)C5223216221615141154，，PX(4)C5PX(5)2232232故X的分布列为：X012345155551P323216163232宁波“十校”数学参考答案第3页共6页----------------------------------------------5分15故EX()5．-----------------------------------------------------------------7分22（2）事件“Yn”表示前n1次试验只成功了1次，且第n次试验成功，121n12故P()C()()Yn1nn22，-------------------------------------------9分n133393当n为偶数时，1222所以P(AB)P(2)P(4)……P(n)[1()03()2…+(n1)()n2]，9333222令Sn1()03()2…+(1)()n2n3334222则Sn1()243()…+(1))(n，9n33352222两式相减得：Sn12[()2()4…+()nn2](1)()-----------------------13分9n333311721179131312则Sn()()n．即P()()()ABnn.n253255252553当n为奇数时，同理可得122213182P(AB)P(2)P(4)……P(n1)[1()03()2…+(n2)()nn3](n)()1933325525313182()(),nnn1为奇数255253综上，P()AB--------------------------------------------17分131132()(),nnn为偶数255253（注：只考虑n是奇数或偶数，且答案正确扣2分）19．（本题共17分）解：xy22a20（1）由双曲线方程1，则，得到a(0,2)，222aa440axy221联立抛物线与双曲线方程aa224，得到(4a2)x24a2xa40，-----2分2yx44a2记fx()(4ax2)24axa24[(2axa)2][(2)axa2]，可知fx()0有两个根a2a2a2a2和，其中1，则1，解得a(1,2).-----------------------------6分2aa22a又直线AF分别交CC12,于CD,（不同于AB,点），即ABF,,三点不共线，当x2时，代入44抛物线方程得到A(2,2)，将A(2,2)代入双曲线方程得到1，解得a2625，aa224故a51.综上，a(1,51)(51,2)------------------------------------------------------------------7分宁波“十校”数学参考答案第4页共6页（2）2由Ax1,,,y1Cx2y2是直线AF与抛物线C1:y4x4的两个交点，显然直线AF不垂直y轴，点F2,0，故设直线AF的方程为xmy2，xmy2由消去并整理得2，所以为定值2xy4my40yy124.yx44y2y1y2y1422设Bx11,y，直线BC的斜率xxyy44yy，212121444方程为yy11xx，yy21yyyy244yy令y0，得点P的横坐标x1211120，-------------10分P444设Dx33,y，xmy222222222由xy22消去x得(4mmaa)())y4m4ay(4a0，1aa22440m2m2a2a2，2222222222222Δ16(4ma)4(4a)(4mmaa)4(am1)(4a)04m())