陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（理科）试题

铜川市2024年高三质量检测卷数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5．本卷主要考查内容：高考范围。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A． B．C． D．2．已知复数，则（）A． B．2 C． D．3．从1，2，…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A． B． C． D．4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A．倍 B．3倍 C．倍 D．9倍5．已知，是上的两个动点，是线段的中点，若，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A． B．2 C． D．7．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点在准线上．满足轴．若，则（）A．2 B． C．3 D．8．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A．28 B．20 C．18 D．129．已知函数且满足，则的最小值为（）A． B． C．1 D．210．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．11．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边的比为，则与平面所成角的正切值为（）A． B． C． D．12．已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，交双曲线的右支于，两点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，且，则______．14．已知锐角，满足，，则______．15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第个图的化学键和原子的个数之和为______个．（用含的代数式表示）15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100（1）根据统计完成以上列联变，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有的把握认为回老家祭祖与年龄有关？参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当取最大值时，求的面积．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面底面，且为等边三角形，，，为的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点．直线与椭圆相交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求在点处的切线方程；（2）若是的两个极值点，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线，分别交于，两点（异于极点），求线段的长度．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为2，证明：（1）；（2）．铜川市2024年高三质量检测卷・数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．B由题意知，，所以．故选B．2．A，则．故选A．3．C和为质数有，共14种情况，因此概率为．故选C．4．B设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的3倍．故选B．5．C因为中点为，又，所以，点在以为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为．故选C．6．C因为函数是定义在上的奇函数，所以．故选C．7．A依题意，，为等边三角形，．故选A．8．A根据题意得，，解得或（舍），则，故选A．9．B由可知：关于对称，故，，时，取最小值为．故选B．10．A，令，则在上恒成立，故在上为减函数，故，则，故，即．故选A．11．C设球心为，在平面内的射影为，为中点，于，半径为，，，则，．故选C．12．C设，，直线的方程为，其中，联立得．，，由，得，即，，即，，整理得，离心率．故选C．13．，，，解得，，．14．由，，，均为锐角，得，，则．15．由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第个图有个化学键和个原子，所以总数为．16．，即，对恒成立，当时，，，故符合题意，当时，，，在上，不合题意，故．17．解：（1）补全表格如下：回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；（2），有的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．18．（1）证明：，则，而，故，故，故；（2）解：，当且仅当时，取最大值，此时，且，则，，故．19．（1）证明：如图，取中点，连接，，为等边三角形，，又侧面底面，底面，侧面底面，平面．平面，，又，分别为，中点，，又，，，平面，平面，又平面，；（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，，，，，，，，设平面的法向量为，则即则可取，，直线与平面所成角的正弦值为．20．解：（1）设点，的坐标分别为、．由题意有解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，联立方程消除后有，有，可得，，同理，，由对称性可知直线所过的定点必定在轴上，设点的坐标为，有，有，化简得，解得，故直线过定点．21．解：（1）当时，，，，，所以在处的切线方程为；（2）证明如下：由题意可知是方程的两个不等的正实数根，，，．要证成立，只需证，即证，即证，即证，即证，设，则，即证，令，则，在上单调递减，则，，故．22．解：（1）曲线（为参数），消去参数得，将代入，得曲线的极坐标方程为，由得，，曲线的直角坐标方程为；（2）易知直线的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程得，，．23．解：由于，，则，当且仅当取等号，故的最小值为．证明：（1），，，，，，当且仅当，时取等号；（2），，，当且仅当，即时取等号．