陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学(理科)试题

2024-03-20 · U1 上传 · 11页 · 802 K

铜川市2024高三质量检测数学理科)全卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚。4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容:高考范围。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,,则()A. B.C. D.2.已知复数,则()A. B.2 C. D.3.从1,2,…,9这九个数字中任取两个,这两个数的和为质数的概率为()A. B. C. D.4.已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的()A.倍 B.3倍 C.倍 D.9倍5.已知,是上的两个动点,是线段的中点,若,则点的轨迹方程为()A. B.C. D.6.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则()A. B.2 C. D.7.设为抛物线的焦点,点在抛物线上,点在准线上.满足轴.若,则()A.2 B. C.3 D.8.在递增等比数列中,其前项和为,且是和的等差中项,则()A.28 B.20 C.18 D.129.已知函数且满足,则的最小值为()A. B. C.1 D.210.已知函数满足(其中是的导数),若,,,则下列选项中正确的是()A. B.C. D.11.正四棱锥内有一球与各面都相切,球的直径与边的比为,则与平面所成角的正切值为()A. B. C. D.12.已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点,交双曲线的右支于,两点,且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,,且,则______.14.已知锐角,满足,,则______.15.如图所示是一系列有机物的结构简图,途中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含的代数式表示)15.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为______.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)清明节,又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等是传统的重大春祭节日,扫墓祭祀、缅怀祖先,是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计,随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的列联表:回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100(1)根据统计完成以上列联变,并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率;(2)能否有的把握认为回老家祭祖与年龄有关?参考公式:,其中.参考数据:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(本小题满分12分)在中,内角,,的对边分别为,,,.(1)证明:;(2)若,当取最大值时,求的面积.19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面底面,且为等边三角形,,,为的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)相互垂直且斜率存在的直线,都过点.直线与椭圆相交于,两点,直线与椭圆相交于,两点,点为线段的中点,点为线段的中点,证明:直线过定点.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)若,求在点处的切线方程;(2)若是的两个极值点,证明:.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)设直线与曲线,分别交于,两点(异于极点),求线段的长度.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知,,函数的最小值为2,证明:(1);(2).铜川市2024年高三质量检测卷・数学(理科)参考答案、提示及评分细则1.B由题意知,,所以.故选B.2.A,则.故选A.3.C和为质数有,共14种情况,因此概率为.故选C.4.B设圆柱的高为,底面半径为,则体积为,体积扩大为原来的9倍,则扩大后的体积为,因为高不变,故体积,即底面半径扩大为原来的3倍,原来侧面积为,扩大后的圆柱侧面积为,故侧面积扩大为原来的3倍.故选B.5.C因为中点为,又,所以,点在以为圆心,4为半径的圆上,其轨迹方程为.故选C.6.C因为函数是定义在上的奇函数,所以.故选C.7.A依题意,,为等边三角形,.故选A.8.A根据题意得,,解得或(舍),则,故选A.9.B由可知:关于对称,故,,时,取最小值为.故选B.10.A,令,则在上恒成立,故在上为减函数,故,则,故,即.故选A.11.C设球心为,在平面内的射影为,为中点,于,半径为,,,则,.故选C.12.C设,,直线的方程为,其中,联立得.,,由,得,即,,即,,整理得,离心率.故选C.13.,,,解得,,.14.由,,,均为锐角,得,,则.15.由图,第1个图中有6个化学键和6个原子;第2个图中有11个化学键和10个原子;第3个图中有16个化学键和14个原子,观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子,则第个图有个化学键和个原子,所以总数为.16.,即,对恒成立,当时,,,故符合题意,当时,,,在上,不合题意,故.17.解:(1)补全表格如下:回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为;(2),有的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关.18.(1)证明:,则,而,故,故,故;(2)解:,当且仅当时,取最大值,此时,且,则,,故.19.(1)证明:如图,取中点,连接,,为等边三角形,,又侧面底面,底面,侧面底面,平面.平面,,又,分别为,中点,,又,,,平面,平面,又平面,;(2)解:以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设等边的边长为4,,,,,,,,设平面的法向量为,则即则可取,,直线与平面所成角的正弦值为.20.解:(1)设点,的坐标分别为、.由题意有解得故椭圆的标准方程为;(2)证明:设直线的斜率为,可得直线的斜率为,设点的坐标为,点的坐标为,直线的方程为,联立方程消除后有,有,可得,,同理,,由对称性可知直线所过的定点必定在轴上,设点的坐标为,有,有,化简得,解得,故直线过定点.21.解:(1)当时,,,,,所以在处的切线方程为;(2)证明如下:由题意可知是方程的两个不等的正实数根,,,.要证成立,只需证,即证,即证,即证,即证,设,则,即证,令,则,在上单调递减,则,,故.22.解:(1)曲线(为参数),消去参数得,将代入,得曲线的极坐标方程为,由得,,曲线的直角坐标方程为;(2)易知直线的极坐标方程为,代入曲线,的极坐标方程得,,.23.解:由于,,则,当且仅当取等号,故的最小值为.证明:(1),,,,,,当且仅当,时取等号;(2),,,当且仅当,即时取等号.

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