重庆市七校联盟2023-2024学年高三下学期第一次月考数学答案

2024-03-20 · U1 上传 · 6页 · 383.5 K

七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分题号12345678答案ACADBBCA8.(解析)注意到,f(0)=1,因为f'(x)=aex−−(a1),且f'(0)=1,所以函数y=fx()在点(0,1)处的切线方程为yx=+1.当a>0时,由exx≥+1可知,fxaeax()=x−(1)1−+−aaxax≥(1)(1)1+−−+−ax=+1,所以||PQ的最小值为直线|b−1|yx=+1与直线y=gx()=x+b的距离,由点到直线的距离公式知=2,解得b=−1或2b=3(舍去),所以b=−1.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCDABCBCD11.(解析)当a=0时,fx()=x3+1,则fx'2()=3x,则f'(0)=0,则曲线y=fx()在点(0,1)处的切线方程为y=1,故A选项错误.当a=3时,fx()=−+x33x1,则fx'2()=3x−3,当x∈(−∞,−1)和(1,+∞)时,fx'()>0,fx()单调递增,x∈−(1,1)时,fx'()<0,fx()单调递减.又因为f(−=1)3,f(1)=−1,结合三次函数的图象特征,此时,fx()有三个零点,3故B选项正确.设f()x=−+xax1的三个零点分别为x1,x2,x3,则有32x−ax+=1(xxxx−123)(−)(xx−),展开后比对含x项的系数,可得xxx123++=0,故选项C正确.当a≤0时,易知fx()在R上单调递增,结合图象知不符合题意,故a>0.因为fx''()=6x,f''(0)=0,因此函数f()x=−+x3ax1的图象关于点(0,1)成中心对称图形.则此正方形必以(0,1)为中心,不妨设正方形的四个顶点分别为A,B,C,D,其中一条对角线AC的方程为y=+>kx1(k0),则x3−ax+=11kx+,即x3−+(akx)0=,解得11x=±+ak,则|AC|=++21k2ak,同理可得|BD|=+−21a.由kk211|AC||22=BD|得(k23−1)ak++=0,根据题意,方程(k23−1)ak++=0只有一个正解,kk11kk32++212当k=1时,显然不成立.故k≠1,则−=akkk==−+,因为a>0,则2−11kk1kk−−kk12k∈(0,1),设tk=−,则t∈(−∞,0).设gt()=t+,根据题意,只需要直线ya=−与函kt2数gt()=t+的图象只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得−=−a22,解得ta=22.所以选项D正确.七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第1页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.题号121314答案.(解析):把平面AACC沿AA展开到与平面ABBA共面的′的位置,1411111AAC11C′延长BB到′,使得′,连结′,如图所示,1B1BB1=B1BBF11则′,要使得CE++EFFB的长度最小,则需′,,,′四点共线,BF11=BF11C1EFB1此时′′′′,C1E++EFFB1=C1E++EFFB1=C11B′′′′因为CB11=4,BB1=4,∠=°B1BC1190,′′′所以∠=∠B1BCB111=°45,′′所以BF=BB1=2,AE1=AC11=1,故AE=AF=1,∠=∠=°AFEBFB145,∠=°所以B1FE90,EF=2,BF1=22,EB1=10,△EB110所以EFB1的外接圆是以EB1的中点O为圆心,=为半径的圆22如图2,连接OA1,OF,由于==,所以22,又22AE1AC111C1E=AE1+=AC112C11B=AB11−=AC1122222所以EB1=EC1+C11B,EB110所以EC11B的外接圆是以EB1的中点O为圆心,=为半径的圆221010所以三棱锥B11−CEF外接球的球心为O,半径为,故外接球的表面积为4π×=10π.24四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(满分13分)详解:(1)由倍角公式得:cosB+1+3sinB=3π∴sin(B+)=16七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第2页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}ππ7πB∈(0,π),即B+∈(,)666πππ∴B+=,∴B=623--------------------------------(5分)(2)若选①:由BD平分∠ABC得:SSS△ABC=△ABD+△BCD,11ππ1π∴acsin=×3asin+×3csin,232626即ac=3(a+c).π在中,由余弦定理得b2=+−a22c2accos,3∴+−a22cac=12,ac=3(a+c)联立,得2−=,22(ac)9ac36a+−cac=12解得ac=12,113∴S△=acsinB=××12=33---------------(13分)ABC2221若选②:得BD=(BA+BC),2211222BD=(BA+BC)=BA+2BA⋅+BCBC,44()得a22++cac=36,π在中,由余弦定理得b2=+−a22c2accos,3∴+−a22cac=12,a22++cac=36联立,得,22ac=12a+−cac=12113∴S△=acsinB=××12=33----------------(13分)ABC22216.(满分15分)详解:(1)连接AB1交AB1于点E,连接OE,CE1,∵O,E分别是AB,AB1的中点,D为CC1的中点,11∴OE//BB//DC,OE=BB=DC,211211∴四边形OEC1D为平行四边形,∴OD//C1E.∵OD⊄平面AC11B,CE1⊂平面AC11B,∴OD//平面AC11B------------------6分.(2)连接OC,∵∠=°BAA160,∴为正三角形,∴AO1⊥AB,∵AO1⊥BC,且BCIAB=B,∴AO1⊥平面ABC,∵△ABC是正三角形,∴CO⊥AB.以O为原点,OA,OA1,OC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第3页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}设AB=2,则A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B1(−2,3,0),由,可得−.AC=AC11C1(1,3,3)=−=−则AC1(2,3,3),AA1(1,3,0),AB1=(−3,3,0),设平面A11AC的法向量为m=(xyz,,),AC1⋅=m0−+2xyz3+30=∴,即,AA1⋅=m0−+xy30=令x=3,∴m=(3,1,1),设平面AC11B的法向量为n=(abc,,),AC1⋅=n0−+2abc3+30=∴,即,AB1⋅=n0−+3ab30=令a=3,∴n=(3,3,−1),设平面A11AC与平面AC11B所成的角为θ,mn⋅565则cosθ=cosmn,===,mn5×131365即平面A11AC与平面AC11B所成角的余弦值为.-----------------(15分)1317.(满分15分)详解:(1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为:x=205×+0.1255×+0.2305×0.45+355×+0.2405×0.05=300.----------(4分)(2)XN∼(300,502),0.68270.9545∴PX(250≤≤=−≤≤+≈400)P(µσXµ2σ)+=0.8186.--------(4分)22(3)由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中,卓越A型、卓越B型和卓越C型的架数分别为3架2、架和1架,随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.CC0319CC12==33===33=PY(0)33,1PY(),C6620C20CC1291CC30==33===33=PY(2)33,3PY(),C6620C20随机变量Y的分布列如下表:Y01231991P2020202019913EY()=×+×+×+×=0123.----------(15分)202020202七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第4页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}18.(满分17分)22(1−ax2)详解:(1)f'()x=−=2ax,若a≤0,则当x∈(0,+∞)时,fx'()>0,fx()单xxaa调递增,则fx()至多只有一个零点,不符题意.若a>0,令fx'()=0得,x=,则当x∈(0,)aaa时,fx'()>0,fx()单调递增,当x∈(,)+∞时,fx()单调递减.因为fx()有两个不同的零aaaa1点,则必有f()2ln=−aa()2=−ln10−>,解得0<112ln,设gt()=−−t2lnt,则gt'()=+−=1>0,则gt()单调递增,tttt22t11则gt()>=g(1)0,则tt−>2ln成立,也即xx<成立................................................(10分)t12a再证,因为是方程的根,则,又有x0+2lnx02ax0ax(12+>x)4xx12+>.xx21>−aa1211因为,,且在上单调递减,则只需证x2∈(,)+∞−x1∈(,)+∞fx()(,)+∞aaaa22,又因为,即证设fx()21<−f(x)fx()12=fx()fx()11<−f(x).aa2124(ax−1)2hx()=f(−−x)f(),xx∈(0,),则hx''()=−f(−−x)f'()x=<0,则aaa(ax−2)x112hx()在x∈(0,)上单调递减,则hx()>=h()0,则f(−>x)fx(),从而aaa2,故成立(分)fx()21<−f(x)x0七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第5页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABC

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