2024届安徽省安庆市高三下学期模拟考试(二模)数学试题

2024-03-20 · U1 上传 · 10页 · 641.3 K

2024安庆市高三模拟考试二模数学试题命题:安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟,满分150分一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.设集合,集合,则()A. B. C. D.2.已知复数,是z的共轭复数,则()A. B.1 C.2 D.43.设F是椭圆的一个焦点,过椭圆C中心的直线交椭圆于P,Q两点,则的周长的最小值为()A.12 B.14 C.16 D.184.在一次学科核心素养能力测试活动中,随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分),将所有数据按,,,,,进行分组,整理得到频率分布直方图如图所示,则估计这次调查数据的第64百分位数为()A.80 B.78 C.76 D.745.设是公比不为1的无穷正项等比数列,则“为递减数列”是“存在正整数,对任意的正整数,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知点,,O是坐标原点,点B满足,则与夹角最大值为()A. B. C. D.7.已知函数的图象关于点对称,且在上没有最小值,则的值为()A. B. C. D.8.如图,在长方体中,,点E是棱上任意一点(端点除外),则()A.不存在点E,使得B.空间中与三条直线,,都相交的直线有且只有1条 C.过点E与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条D.过点E与三条棱,,所成的角都相等的直线有且只有4条二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的函数,满足对任意的实数x,y,均有,且当时,,则()A. B.C.函数为减函数 D.函数的图象关于点对称10.抛物线的焦点为,经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别过点A、点B作抛物线C的切线,两切线相交于点E,则()A.当时,B.面积的最大值为2C.点E在一条定直线上D.设直线倾斜角为,为定值11.满足,,的数列称为卢卡斯数列,则()A.存在非零实数t,使得为等差数列B.存在非零实数t,使得为等比数列C.D.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.在二项式的展开式中,常数项为__________.13.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为M,底面直径.圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O,则该圆锥的全面积为__________.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术.其传承赓续的视觉形象和造型格式,蕴涵了丰富的文化历史信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.现有如图所示剪纸图案,其花纹中就隐含方程为的曲线C(称为星形线),则曲线C的内切圆半径为__________;以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在平面凸四边形中,.(1)求;(2)若,,求.16.(15分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若不等式对任意的恒成立,求实数m的取值范围.17.(15分)如图,将边长为2的菱形沿其对角线对折,使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧,且,.设E是的中点.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面夹角的正弦值.18.(17分)树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动,该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求.学校所有3000名学生参加了遴选活动,遴选活动分以下两个环节,当两个环节均测试合格可以参加体验活动.第一环节:对学生身体体能指标进行测试,当测试值时体能指标合格;第二环节:对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试,测试方案为对A,B两类试题依次作答,均测试合格才能符合遴选要求.每类试题均在题库中随机产生,有两次测试机会,在任一类试题测试中,若第一次测试合格,不再进行第二次测试.若第一次测试不合格,则进行第二次测试,若第二次测试合格,则该类试题测试合格,若第二次测试不合格,则该类试题测试不合格,测试结束.经过统计,该校学生身体体能指标服从正态分布.参考数值:,,.(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数(结果取整数);(2)学生小华通过身体体能指标遴选,进入航天知识素养测试,作答A类试题,每次测试合格的概率为,作答B类试题,每次测试合格的概率为,且每次测试相互独立.①在解答A类试题第一次测试合格的条件下,求测试共进行3次的概率.②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X,求X的分布列和数学期望.19.(17分)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域,其定义如下:设,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作,函数称为取整函数.另外也称是x的整数部分,称为x的小数部分.(1)直接写出和的值;(2)设a,,证明:,且,并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数;(3)对于任意一个大于1的整数a,a能唯一写为,其中为质数,为整数,且对任意的,,i,,称该式为a的标准分解式,例如100的标准分解式为.证明:在的标准分解式中,质因数(,,)的指数.2024年安庆二模数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案ABCBCABD二、多项选择题题号91011答案ACDCDBCD三、填空题12.210 13. 14.,a四、解答题15.【解析】(1)由已知得:,故,所以.因为,故,所以.(2)由已知,为边长为4的等边三角形,在中,,由正弦定理得,故.由于,所以,故.在中,由余弦定理得,即,得.16.【解析】(1)当时,,其定义域为,求导,得.令,得(舍去),当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)方法1:由条件可知,于是,解得.当时,,构造函数,,对其求导,得,所以函数在上单调递减,于是,因此实数m的取值范围是.方法2:由条件可知对任意的恒成立,令,,只需即可.对函数求导,得,,所以函数在上单调递增,于是,所以函数在上单调递增,所以,于是,因此实数m的取值范围是.17.【解析】(1)证明:取的中点O,连接、,如图所示.因为四边形是边长为2的菱形,是边长为2的等边三角形,所以也是边长为2的等边三角形.在等边中,O是的中点,故;且,又,故;又,故平面;又平面,故平面平面.(2)由(1)知,,.又O是等边的边中点,故.所以,以为原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴,建立如图示空间直角坐标系.则,,,,故.因为是边长为2的等边三角形,故,所以,且,又,,故平面,则D在平面内.故求得,所以,,设平面的法向量为,显然可令;设平面的法向量为,则,令,则,,即.所以,设平面与平面的夹角为,则,故平面与平面的夹角的正弦值为.18.【解析】(1).所以符合该项指标的学生人数为:人.(2)①记表示解答A类试题第一次测试合格,,分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格,测试共进行3次记为事件M,则,.②设X的取值为0,1,2,,,,所以X的分布列为X012P数学期望.19.【解析】(1)1,0.25;(2)证明:因为,等式两边同时乘b,得.因为a,b都为整数,所以也为整数,又,所以.所以,得证.假设b,,…,都小于等于a,因为,所以,所以.因为,所以,所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为.(3),将2,3,…,n每一个数都分解为质因数的乘积.对于质因数,利用(2)中结论,的倍数中不大于n的正整数的个数为,记为,将这些数都提取出来,此时p的倍数中还有可以提取出的数,注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为,记为,将这些数提取出来;同理,的倍数中不大于n的正整数的个数为,记为,依此这样进行下去,则质因数的指数,得证.

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