年普通高等学校招生全国统一考试模拟2024()数学试题参考答案及评分标准2024.3说明:一本解答只给出了一种解法供参考如考生的解法与本解答不同可根据试题的主要、,,考查内容参照评分标准酌情赋分.二当考生的解答在某一步出错误时如果后继部分的解答未改该题的内容与难度可、,,视影响的程度决定后继部分的给分但不得超过该部分正确答案应得分数一半如,;果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误就不再给分,.三解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数、,.四只给整数分数选择题和填空题不给中间分、,.一、选择题:本题共小题,每小题分,共分。在每小题给出的四个选项中,只有一项8540是符合题目要求的。1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B二、选择题:本题共小题,每小题分,共分。在每小题给出的选项中,有多项符合题3618目要求。全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分。609.ACD 10.BCD 11.AC三、填空题:本题共小题,每小题分,共分。351512.[1,10) 13.2 14.36(2+3)π 144π四、解答题:本题共小题,共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。577.分15(13)解fxab:(1)()=·2xxx分=2cos+23sincos…………………………………………………1xx分=cos2+1+3sin2……………………………………………………3xπ分=2sin(2+)+1,………………………………………………………46因为fx11即xπ11所以xπ3分(0)=,2sin(20+)+1=,sin(20+)=,…………………556565又xππ所以xππ5π0∈(,),20+∈(,),63626所以xπ4分cos(20+)=-,……………………………………………………………665所以xxππ分cos20=cos(20+-)………………………………………………………766数学试题答案第页共页 1(6){#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}xππxππ=cos(20+)cos+sin(20+)sin66663-43.分=…………………………………………………………………810由题意知gx1xππxπ分(2),()=(2sin(2(-)+)+1-1)=sin(2-),………………102666由gx1得πkxπ5πkkZ()≥,+2π≤2-≤+2π,∈,2666πkxπkkZ分∴+π≤≤+π,∈,………………………………………………………1162令k得xππ令k得x5ππ=0,∈[,],=-1,∈[-,-],6262又xππxππ.∈[-,],∴∈[,]6363故不等式gx1xππ的解集为ππ.分()≥,∈[-,][,]……………………………1326363.分16(15)解随机变量X可能取值为.分(1):6,7,8,9……………………………………………1由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为2上三级台阶的概率为1分,,…………233则XB1分-6(3,)……………………………………………………………………33可得PX238分(=6)=()=,…………………………………………………………4327PXC11224分(=7)=3××()=,…………………………………………………5339PXC21222分(=8)=3×()×=,…………………………………………………6339PX131分(=9)=()=,…………………………………………………………7327所以X的分布列为X6789P8421279927因为EX1所以EX.分 (-6)=3×=1,()=7……………………………………………93数学试题答案第页共页 2(6){#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}解记甲乙两位学生参加游戏恰有一人获得奖品的概率为P(2):、,,由题意知位于第级台阶则认定游戏失败无法获得奖品所以投掷次后学员站,10,,3,在第步台阶第四次投掷次骰子出现的倍数即位于第级台阶分7,,3,10,……………10其概率PC112214分1=3××()×=,…………………………………………………1233327所以PC1PP423184.分=2×1×(1-1)=2××=…………………………………………142727729甲乙两位学生参加游戏恰有一人获得奖品的概率为184.分、,………………………15729.分17(15)解作直线AB即为所求.分:(1)1………………………………………………………1连结AC交DE于点M连结MF分1,,…………………………………………………2ADDACEEC[∵=21,1=2,'#$ADCE2AA∴=1=1=2,3又ADCE四边形ADCE为平行四边形∥1,∴1,AMMC分&∴=1,……………………………………………4%.又BFFC1=1,MFAB$Z∴∥1,…………………………………………5又MF平面DEFAB平面DEF⊂,1⊄,AB平面DEF.分Y∴1∥……………………………………6SABC1ABCABC(2)∵△=×2×2sin∠=2sin∠2当ABCπ时SABC取最大值即当ABBC时三棱柱ABCABC的体积最大∴∠=,△2,⊥,-111,2分…………………………………………………………………………………………7又BBABBBBC以B为坐标原点BABCBB为x轴y轴z轴建立空间直角∵1⊥,1⊥,,,,1,,坐标系分,……………………………………………………………………………………8则DEF(2,0,2),(0,2,1),(0,1,3),D→EE→F分∴=(-2,2,-1),=(0,-1,2),………………………………………………10设平面DEF的法向量nxyz=(,,),nD→Exyz由·=0得{-2+2-=0,{nE→F,yz·=0-+2=0,数学试题答案第页共页3(6){#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}取z则yx3此时n3分=1,=2,=,=(,2,1),………………………………………1222又平面ABC的一个法向量为m分=(0,0,1),………………………………………13记平面DEF与平面ABC夹角为θ,mn则θ|·|1229.分cos=mn==……………………………………………14||||929+4+14故平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为229.分…………………………………1529.分18(17)解当a时fxx2x:(1)=1,()=(ln+1),f分∴(1)=1,……………………………………………………………………………1又f′xxx分()=(2ln+3),………………………………………………………………2f′分∴(1)=3,……………………………………………………………………………3fx在f处的切线方程为xy.分∴()(1,(1))3--2=0……………………………………4x(2)∵∈(0,+∞),f′xxxaxxxa分()=2(ln+)+=(2ln+2+1),………………………………………………5令φxxa()=2ln+2+1,φ′x2()=x>0,φx在上单调递增分∴()(0,+∞),……………………………………………………6a1由φxxa得x--2分()=2ln+2+1=0=e,………………………………………………7a1a1fx在--2上单调递减在--2上单调递增.分∴()(0,e),(e,+)………………………9aa∞f-x-时fx(3)∵(e)=0,∴∈(0,e),()<0,a1ax--2x-分∴0<1<e<2<e,………………………………………………………………10xa1xa∴ln1<--<ln2<-,2即xaxa分2(ln1+)<-1<2(ln2+)<0,…………………………………………………11由fxfx得(1)=(2),x2xax2xa1(ln1+)=2(ln2+),x2ax2a即ln1xa2ln2xa2e(ln1+)e=e(ln2+)e,xaxa2(ln1+)xa2(ln2+)xa分∴e·2(ln1+)=e·2(ln2+),………………………………………13令txatxa1=2(ln1+),2=2(ln2+),设gtttt()=e,∈(-∞,0),g′ttt.分∴()=(+1)e…………………………………………………………………14数学试题答案第页共页 4(6){#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}t时g′tgt单调递减∴∈(-∞,-1),()<0,(),t时g′tgt单调递增∈(-1,0),()>0,(),下面证明tt又t即证tt1+2<-2,2>-1,1<-2-2<-1,即证gtgt(1)>(-2-2),即证gtgt分(2)>(-2-2),………………………………………………………………15令Gtgtgtt=----()()(2),∈(1,0)t,tG′tg′tg′tte-2-()=()-(-2-)=(+1)(e-)>0,Gt在上单调递增分∴()(-1,0),………………………………………………………16GtG从而得证∴()>(-1)=0,,故xaxa2(ln1+)+2(ln2+)<-2,即xxaln12<-2-1,axx-2-1∴0<12<e,a12+1.分∴xx>e…………………………………………………………………………1712.分19(17)解设动圆C的半径为r易知圆C和圆C的半径分别为(1):,1252,2,C与CC都内切则∵1,2,CCrCCr分|1|=52-,|2|=-2,………………………………………………………1CCCCrr分∴|1|+|2|=52-+-2=42,………………………………………………2又CCCC分1(-2,0),2(2,0),∴|12|=4<42,…………………………………………3点C的轨迹是CC为焦点的椭圆分∴1,2,……………………………………………4x2y2设E的方程为ab则:a2+b2=1(>>0),ac2=42,2=4,a2b2a2c2∴=8,=-=4,x2y2E的方程为.分∴:+=1……………………………………………………………584证明设AxyBxyPtt(2)(i):(1,1),(2,2),(8,)(≠0),xxyy则结合圆锥曲线的性质知直线PA的方程为11分,+=1,…………………………684xxyy直线PB的方程为22分+=1,………………………………………………………784tyty又直线PAPB都过点Pt则x1x2分,(8,),1+=1,2+=1,……………………………844ty因此直线AB的方程为x显然当y时x分+=1,=0,=1,……………………………94数学试题答案第页共页5(6){#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}直线AB过定点.分∴(1,0)……………………………………………………………10设AB方程为xmym(ii):=+1(≠0),xmy联立{=+1m2y2my分x2y2,∴(+2)+2-7=0,…………………………………………11+2=8myy2yy-7分∴1+2=-m2,12=m2,………………………………………………………12+2+2又A′xy(1,-1),yy直线A′B方程为yy1+2xx令y得+1=xx(-1),=02-1xyxyx12+21M=yy1+2myymyy(1+1)2+(2+1)1=yy1+2myyyyyy212+(1+2)m12=yy=2·yy+11+21+2-7m2m+2分=2·m+1=8,………………………………………………………………
2024届山东省临沂市高三一模数学答案
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