云南师大附中2024届高考适应性月考卷(八)数学试卷

2024-03-08 · U1 上传 · 16页 · 863.4 K

数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡,上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.若复数为纯虚数,其中i为虚数单位,则()A. B. C.3 D.2.若命题“,”为真命题,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.3.某食品公司共有A,B,C三条生产线,产量占比为3:2:5,为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格,用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%,则不同的抽样方法共有()A.种 B.种C.种 D.种4.若点在圆O:外,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.5.已知为等差数列的前n项和,且,则()A.2600 B.2480 C.1660 D.14606.已知平面向,,,,,,若,则的最大值为()A.8 B. C. D.7.网购已成为人们习以为常的生活方式,大量的网购增加了人们对快递的需求,快递量几何级增长,快递包装箱的消费量也十分惊人,瓦楞纸板是最主要的快递包装材料,如何使用更少的纸板来包裹更多的物品,这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题.现某商家需设计一体积为的纸箱.要求纸箱底面必须为正方形,为了保护易碎的商品,纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成.已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/,则一个纸箱的成本最低约为(参号数据:,)A.0.32元. B.0.44元 C.0.56元 D.0.64元8.在空间中,到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2,,P在菱形ABCD的内部及边界上运动,空间中的点Q满足,则点Q轨迹所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目婴水,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知,下列说法正确的是()A. B.C.若,则 D.若,则10.如图,角,的始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,M为线段AB的中点.N为的中点,则下列说法中正确的是()A.N点的坐标为B.C.D.若的终边与单位圆交于点C,分别过A,B,C作x轴的垂线,垂足为R,S,T,则11.p为椭圆上一点,为的左、右焦点,延长,交于A,B两点、在中,记,,若,则下列说法中正确的是()A.面积的最大值为B.的离心率为C.若与的内切圆半径之比为3:1,则的斜率为D.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共IS分)12.在的展开式中,常数项为______.(用数字作答)13.我们知道,二次函数的图象是抛物线.已知函数,则它的焦点坐标为______.14.如图,正五角星是一种蕴含美感的图形,在正五角星中可以找到很多对线段,它们的长度关系都符合黄金分割比,我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形,已知正五边形的边长,则该正五角星的边长AB长为______.四、解答题(本大题共5小题,共77分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)近两年来,自行车的市场占有率在不断提升,随着人们的健康意识不断增强,骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式,也渐渐成为一种新颖的运动,越来越多的人加入了骑行一族.在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况,得到如图所示的样本数据频率分布直方图.(1)数据显示,该地区年龄在岁内的人口占比为12%,该地区自行车骑行率约为13%,从该地区任选一人,已知此人年龄在内,求此人是自行车骑行者的概率;(2)对这100位自行车骑行者进行统计,骑行频率次/周的共有70人,其中年龄在40岁以下的占80%.请完成以下列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断骑行频率与年龄是否有关联.年龄骑行频率年龄合计岁岁次/周次/周合计附:,其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82816.(本小题满分15分)如图,在平行六面体中,,,,,点P满足.(1)证明:O,P,三点共线;(2)求直线与平面PAB所成角的正弦值.17.(本小题满分15分)已知,其中为自然对数底数.(1)讨论的单调性;(2)已知有极值,求的所有极值之和的最大值.18.(本小题满分17分)平面上一动点满足.(1)求P点轨迹的方程;(2)已知,,延长PA交于点Q,求实数m使得恒成立,并说明:为定值19.(本小题满分17分)材料一:有理数都能表示成(s,,且,s与t互质)的形式,进而有理数集可以表示为材料二:我们知道.当时,可以用一次多项式近似表达指数函数,即;为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数.设对等式两边求导,得对比各项系数,可得:,,,…,;所以,取,有,代回原式:.材料三:对于公比为的等比数列,当时,数列的前n项和阅读上述材料,完成以下两个问题:(1)证明:无限循环小数3.7为有理数;(2)用反证法证明:e为无理数(e=2.7182^为自然对数底数).数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)题号12345678答案CDAABCDA【解析】1.因为为纯虚数,所以且,即故选C.2.“,”为真命题,当时,,则,故选D.3.3000件食品中,A,B,C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件,抽检总量为件,分层随机抽样,分别从A,B,C三条生产线抽检,、件,按照分步乘法计数原理,共有种方法,故选A.4.配方可得,圆,点在圆O外,所以,即,解得或,故选A.5.因为为等差数列,所以,当时,,所以,,所以,公差为6;,且也为等差数列,公差,所以,故选B.6.如图,令,,,由余弦定理得,,,因为,所以,则C点在圆E的优弧AB上运动,其中,,,,则,所以,所以故选C.7.该纸箱为正四棱柱,设其底面边长为a米,侧棱长为h米,则纸箱的体积,表面积,成本为,则,令,得,则.当时,,当时,,当时,P有最小值,所以(元),故选D.8.Q的轨迹所围成的几何体截面图(过平面ABCD)如图所示,其中ABEF,ADHG,CDIJ,BCKL区域内的几何体为半圆柱,高为2,底面半径为1,体积为;AFG,BEL,CKJ,DHI区域内的几何体为球的一部分,球心分别为A,B,C,D,半径为1,,,,所以这四个区域的几何体组成一个完整的球,体积为;ABCD区域内的几何体为棱柱,高为2,体积为,所以Q的轨迹所围成的几何体体积为,故选A.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ABCBCDACD【解析】9.因为在上单调递增,所以,即移项得,故A正确:由基本不等式,取等,,故B正确;,则,故C正确;若,则,不一定成立,故D错误,故选ABC.10.N为为AB的中点,则,,所以N点的坐标为,故A错误;由,可得,故B正确;,又因为,,则,所以,故C正确;有向线段,,,所以,故D正确,故选BCD.11.如图,在中,由正弦定理,,则,即,所以,,最大值为,故A正确,B错误;由题意可得,的.斜率不为0,设,联立方程得,恒成立,,,设与的内切圆半径分别为,,因为,,所以,即,,,,所以,即,,所以,C正确;作椭圆的左准线,D,E,G分别为P,A,在左准线上的投影,设,,,所以,,则,得,同理可得,所以,故D正确,故选ACD.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)题号121314答案448【解析】12.展开式的通项为,令,解得,故常数项为.13.,将函数图象向左平移个单位,得到的图象,即,它表示的曲线是以为焦点的抛物线,则原函数图象的焦点坐标为.14.如图,在等腰三角形ABC中,,,取的角平分线交AC于点D,则,,则,且,设,因为,即,解得,则,正五角星的边长为.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)解:(1)设A=“此人年龄在[内”,B=“此人是自行车骑行者”,则.(2)由频率分布直方图可得,这100位自行车骑行者中,年龄岁的共有(人),其中骑行频率次/周的有(人),年龄岁的有26人,骑行频率次/周的有(人),列联表如下:骑行频率年龄合计岁岁次/周181230次/周561470合计7426100零假设为:骑行频率与年龄之间无关联.根据列联表中的数据,得,根据小概率值的独立性检验,推断不成立,即认为骑行频率与年龄之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.16.(本小题满分15分)(1)证明:,所以,而,所以,即O,P,三点共线.(2)解:连接,,,所以,,,,由余弦定理得,同理可得,.又为BD的中点,,.,,即.如图,以O为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,由(1)可得,P为线段三等分点,所以,,,,设平面PAB的法向量为,则可取.设直线与平面PAB所成角为,则,直线与平面PAB所成角的正弦值为.17.(本小题满分15分)解:(1),令,解得或.①当,时,,在和上单调递增,在上单调递减;②当时,,在R上单调递增;③当时,,在和上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)可得,当时,无极值,当时,有两个极值,分别为,,,令,,,,令,得,在上单减,在,上单增,在上单减,当时,,,,即为所求.18.(本小题满分17分)解:(1)由题意可得,动点P到定点的距离比到定点的距离大2,由双曲线的定义,P点轨迹是以,)为焦点的双曲线的左支,设,则,,,所以的方程为.(2)如图,不妨设点P在第二象限,①当的斜率不存在时,,令,解得,则,此时,在中,,,,即;②当的斜率存在时,令的倾斜角为,的倾斜角为,则,,假设成立,即,则有,即.又,,又点P的坐标满足,即,,,假设成立,当时,有成立.此时,由对称性可知,,而,为定值.19.(本小题满分17分)证明:(1),当时,,故为有理数.(2)由题可得,,取,有,假设e为有理数,不妨令(,且,s与t互质),等式两边同乘t!得:,易得,为正整数,也为正整数,则亦为正整数,但,不可能为正整数,矛盾,所以e为无理数.

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