西山区2024届高三第三次教学质量检测数学试题卷(本试卷共四个大题19个小题;考试用时120分钟,满分150分)考生注意:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2,回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合,,若,则()A.0 B.1 C.-1 D.3.记为等差数列的前n项和.若,,则()A.10 B.20 C.30 D.404.华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型,对比传统方法,预测速度提高10000倍以上,可秒级完成对全球气象的预测.由“盘古”模型预测,某地某天降雨的概率是0.5,连续两天降雨的概率是0.3,已知某地某天降雨,则随后一天降雨的概率是()A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.65.已知椭圆C:的左焦点为F,点P在椭圆C上,若的最大值是最小值的2倍,则椭圆C的离心率()A. B. C. D.6.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆相交于点,将的终边逆时针旋转45°之后与圆的交点为B,则点B的横坐标为()A. B. C. D.7.每年6月到9月,昆明大观公园的荷花陆续开放,已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天(第四天完全凋谢),池塘内共有2000个花蕾,第一天有10个花蕾开花,之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍,则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大()A.6 B.7 C.8 D.98.已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为()A. B. C.e D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线a,b,c与平面,,,下列说法正确的是()A.若,,,则a,b异面B.若,,,则C.若,,则D.若,,则10.直线与函数有且仅有三个交点,从左往右依次记作点A,B,C,则下列说法正确的是()A.的取值范围是 B.有且仅有2个极大值点C.在上单调递增 D.若,则11.设O为坐标原点,直线l过抛物线C:的焦点F且与C交于A,B两点(点A在第一象限),,l为C的准线,,垂足为M,,则下列说法正确的是()A. B.的最小值为C.若,则 D.x轴上存在一点N,使为定值三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分.12.已知向量,满足,,则______.13.今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆,哈尔滨市某公园为欢迎往来游客,设计了一个卡通雪人,雪人放置在上底边长为3m,下底边长为4m,高为1m的正四棱台冰雕底座上,那么冰雕底座需要______立方米水制成.(制作过程的损耗忽略不计,冰和水均为理想状态,,)14.函数的最小值为______.四、解答题:本题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,且成等差数列,,.(1)求a,c;(2)点D在AC上,从下列三个条件中选择一个作为已知,求BD的长.条件①:;条件②:;条件③:.16.(15分)直三棱柱中,,M为AC的中点,N为的中点,.(1)证明:;(2)求平面与平面所成角的余弦值.17.(15分)新高考数学试卷增加了多项选择题,每小题有A、B、C、D四个选项,原则上至少有2个正确选项,至多有3个正确选项.题目要求:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指:若正确答案有2个选项,则只选1个选项且正确得3分;若正确答案有3个选项,则只选1个选项且正确得2分,只选2个选项且都正确得4分.(1)若某道多选题的正确答案是AB,一考生在解答该题时,完全没有思路,随机选择至少一个选项,至多三个选项,请写出该生所有选择结果所构成的样本空间,并求该考生得分的概率;(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等,一考生只能判断出A选项是正确的,其他选项均不能判断正误,给出以下方案,请你以得分的数学期望作为判断依据,帮该考生选出恰当方案:方案一:只选择A选项;方案二:选择A选项的同时,再随机选择一个选项;方案三:选择A选项的同时,再随机选择两个选项.18.(17分)已知双曲线E:的右焦点为,一条渐近线方程为.(1)求双曲线E的方程;(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点,且使得,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.19.(17分)我们把(其中,)称为一元n次多项式方程.代数基本定理:任何复系数一元次多项式方程(即,,,…,为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算).那么我们由代数基本定理可知:任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.即,其中k,,,,,……,为方程的根.进一步可以推出:在实系数范围内(即,,,…,为实数),方程的有实数根,则多项式必可分解因式.例如:观察可知,是方程的一个根,则一定是多项式的一个因式,即,由待定系数法可知,.(1)解方程:;(2)设,其中,,,,且.(i)分解因式:;(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.西山区2024届第三次高三教学质量检测数学答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACCDBBCA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ACACDABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分.12.213.11.114.四、解答题:本题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(书写合理尽量给分)解:(1)由,且成等差数列,则(Ⅰ)又,,则,代入得(Ⅱ)联立(Ⅰ)、(Ⅱ)得,,(2)若选①,过点B作AC边上的高BE,因为BD平分,所以,得,所以,;在中,,所以;在中,,则.若选②,过点B作AC边上的高BE,由可得,,则,又,所以,;在中,,所以;在中,,则.若选③,由,所以,;在中,,所以;在中,,则.16.(15分)(1)证明:设直线与相交于点O,因为三棱柱为直三棱柱,又,所以,,,所以,所以,又,则,即;又,,所以平面;所以,又,,所以平面,则,又,所以.(注:第一问也可直接建系,按高考评卷标准,有系无论对错既给1分,(1)(2)问不重复给建系分)(2)由①得,建立空间直角坐标系如图所示:设,则,,,,,则,,则平面的法向量,则,,则平面的法向量,,所以平面与平面所成角的余弦值为.注:建系,只要过程完整,无论对错可给3分,多对一个法向量多给2分.17.(15分)解:(1)由题意,该考生所有选择结果构成的样本空间为:设“某题的答案是AB,该考生得分”,则.(2)设方案一、二、三的得分分别为X,Y,Z.①∵,.∴X的分布列为:X23P则:.②∵,,,∴Y的分布列为:Y046P则:.③∵,,∴Z的分布列为:Z06P则:.∵,∴以数学期望为依据选择方案一更恰当.18.(17分)解:(1)由题知:,又,解得:,;则E的方程为.(2)设AB中点为,由可知为等腰三角形,,即,可得,(Ⅰ)设,,则:,①-②化简整理得:,即;可得(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得:;所以直线l的方程为:.(第二问解法多样,几何法,联立方程组都可求解,其他方法参考上面过程合理给分即可)19.(17分)解:(1)观察可知:是方程的一个根;所以:,由待定系数法可知,,,;所以,即或,则方程的根为,,.(2)(i)由可知:是方程的一个根;所以:,由待定系数法可知,,,;所以.(ii)令,即,点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点,等价于是方程的最小正实根;由(i)知:是方程的一个正实根,且,设,由,,,可知为开口向上的二次函数;又因为,则一定有一正一负两个实根,设正实根为t;又,可得,所以;当时,,由二次函数单调性可知,即是方程的最小正实根.
2024届云南省昆明市西山区高三三模数学试题
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