河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题

2023—2024高三省级联测考试数学试卷班级__________姓名__________.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.3.将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（）A.1B.-1C.2D.-24.已知，则（）A.B.C.D.5.已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（）A.2B.C.D.36.甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（）A.B.C.D.7.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（）A.2B.4C.6D.38.设，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.10.下列说法正确的是（）A.若数据的极差和平均数相等，则B.数据的第80百分位数为10.5C.若，则D.若，随机变量，则11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得直线与直线为异面直线B.存在点，使得C.若为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D.过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，则__________.13.已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的一条直线的方程为__________.14.已知函数，若在区间上有且仅有两个不相等的实数，满足，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的范围.16.（本小题满分15分）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人性别购车种类合计新能源汽车传统燃油汽车男20女50合计30100（1）补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的A型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数学期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817.（本小题满分15分）如图，已知平行六面体的棱长均为.（1）证明：；（2）延长到，使，求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.（1）求实数的取值范围；（2）证明：在区间内有唯一零点.19.（本小题满分17分）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.（1）当时，计算；（2）若，判断并证明当增大时，的变化趋势；（3）若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.2023—2024高三省级联测考试数学参考答案题号1234567891011答案AABCBCDCACDCDBCD1.A解析：因为，又，所以.故选A.[命题意图]本题考查知识点为集合的运算､解不等式，考查了学生的数学运算素养.2.A解析：因为，所以，所以.故选A.[命题意图]本题考查知识点为复数的运算､共轭复数的概念，考查了学生的数学运算素养.3.B解析：因为，且，所以.故选B.[命题意图]本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.4.C解析：因为，所以.故选C.[命题意图]本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.5.B解析：过点作的垂线，垂足为，则，设，因为，所以，所以，所以.故选B.[命题意图]本题考查知识点为抛物线的定义，直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.6.C解析：设“甲同学报的活动其他同学不报”，“4位同学所报活动各不相同”，由题得，所以.故选C.[命题意图]本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.7.D解析：因为，所以，又，所以，所以，在中，，在中，，因为，所以，整理得，故，故离心率.故选D.[命题意图]本题考查知识点为双曲线的离心率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.8.C解析：令，则，令.当时，单调递增，，所以存在，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以存在，使得，且当时，单调递增；当时，，单调递减.又，所以当时，，即.当时，则，即.令，所以，当时，则，即，故.故选C.[命题意图]本题考查知识点为利用导数比较大小，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.9.ACD解析：对于，由题可得，即，故A正确；对于，当且仅当时，等号成立，故B不正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ACD.[命题意图]本题考查知识点为基本不等式，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.10.CD解析：对于，当时，，解得，当时，，解得，当时，，无解，故A不正确；对于，由于，所以数据，16的第80百分位数为12，故B不正确；对于C，，则，故C正确；对于D，若，则，所以随机变量的期望，故D正确.故选CD.[命题意图]本题考查知识点为数据的平均数､极差､百分位数以及正态分布､二项分布的计算，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.11.BCD解析：对于，如图，连接，由正方体的性质知，，所以四点共面，平面，故不正确；对于B，如图，设的中点为，连接，若为的中点，则平面，又平面，所以，在中，，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于C，如图，取的中点，连接，设，连接，则几何体为斜三棱柱，从而，又，故C正确；对于D，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，看作弦），故过的截面经过正方体的对称中心时所得截面面积最大，此时截面交棱于中点，也为中点，取的中点的中点的中点，连接，所以过三点的平面截正方体所得截面面积最大时，截面形状为正六边形，面积为，故D正确.故选BCD.[命题意图]本题考查知识点为立体几何中线面位置关系，截面面积､锥体体积计算，考查了学生的直观想象､数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.12.8解析：由题意得，解得.[命题意图]本题考查知识点为等差数列的定义，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.13.（或）解析：由题意得圆心，半径，故点在圆外，设点到直线的距离为，由，得，即，即，解得，当直线的斜率不存在时，即，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故直线的方程为.综上，直线的方程为或.[命题意图]本题考查知识点为直线与圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.14.解析：，令，因为，所以，所以，解得，故的取值范围为.[命题意图]本题考查知识点为三角函数图象的性质，考查了学生的直观想象､謾辑推理与数学运算素养.15.解：（1）由正弦定理得，，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.（2）因为，则，因为.所以.因为.所以.所以，所以.[命题意图]本题考查知识点为解三角形中的求角和取值范围问题，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.16.解：（1）单位：人性别购车种类合计新能源汽车传统燃油汽车男202040女501060合计7030100零假设：购车种类与性别无关，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）由题得的可能取值为，，所以的分布列为023因此，.[命题意图]本题考查知识点为独立性检验､离散型随机变量的分布列及期望，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.17.解：（1）证明：如图，连接，与交于点，连接，由题意可得，在平行六面体中，，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）过点作，垂足为，由（1）可知，平面.因为平面，所以.因为，所以平面，因为三棱锥为正四面体，所以为的重心，则.以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，则，因为，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则所以令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.[命题意图]本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角，考查了学生的直观想象､逻辑推理与数学运算素养.18.解：（1），当时，，①当时，在上单调递减，没有极值点，不合题意；②当时，与在上分别单调递增，显然在上单调递增，因为，所以，得，此时在内有唯一零点，所以当时，；当时，，所以在内有唯一极小值点，符合题意.综上，实数的取值范围为.（2）证明：由（1）知，所以当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，，则，又因为，所以在内有唯一零点，即在内有唯一零点.[命题意图]本题考查知识点为导数与极值点､零点，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.19.解：（1）当时，则，所以.（2）随着的增大而增大.当，则，设，则，因此随着的增大而增大.（3）证明：若，随机变量所有可能的取值为，且....由于，所以，所以，所以，所以.[命题意图]本题考查知识点为对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析､思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养.