内蒙古2024届高三下学期开学考试理科数学试题

{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}高三数学考试参考答案!理科!!#!#$!$#%&$$$&!))#!*')$%'*)'!(!因为%$$$%所以%在复平面内对应的点位于第二象限!!%')#!%')$#!*')$&!+!将这组数据从小到大排列为!!%!!,%!'&%!'%!',%!&!%!&-%!&.%!/&%!'%第个和第-!',*!&!个数据分别是!',和!&!%则这组数据的中位数是$!&0!'/!(!由题易知&$##$#*!$12#$#为偶函数%排除3选项&当0$$$!时%12#$#$0%#$#*!%0%所以&$##$#*!$12#$#$0%排除+%#选项!!(!由题意可得'(#$$$12$%)*!!令'(#$$$12$%)*!$0%解得$$4)%!!由'(#$$$0%得0$$$4)%!%由'(#$$%0%得$%4)%!%则'#$$在#0%4)%!$上单调递减%在#4)%!%*5$上单)%!)%!)%!)%!调递增%则'#$$极小值$'#4$$#)%!$4%)4$%4$%4%解得)$'!''$!$%'.&!%-!+!易知直线*的斜率存在%设直线*的斜率为+%,#$!%!$%-#$'%'$%则两&&&'($'$%'.&'%''&!%&'$!*$'式相减得$!%$'$%'.#&!%&'$%整理得$%!因为,-的中点为#%'%$!%$''.&!%&'%/!!%!!$%所以+$$%$%即直线*的斜率为!$!%$''.666!(!延长.#%/交于点0%设圆台上'下个底面的圆心分别为0'%0!!连接00!%10#设0#$$%0'#$1%0!.$2!因为)00'#*)00!.%所以$%20.'!1!则$$'078!设所求圆心角为!%则$!$'!1%所以!$$!$'''')*3%4'槡!!.!+!因为)$,%3$.%4$%所以79:.$$%所以:)2.$槡!%79:.$!设')3--4!槡!!)#.的外接圆半径为2%则2$$!':)2.!!!!!,!+!将'#$$的图象向左平移个单位长度后得到5#$$$:)2#$*%$的图象!///!&!!!!!因为$+#%%$%所以%$$*%$!%!//////!&!!!&&因为5#$$在#%%$上单调递增%所以!%,%得0$,%所以的最大值为!///'//67!%67'$'%'####'!0!+!由&解得#67!#$/%#67'#$'!因为#7!7'#$'槡%#67!#*(#67!#*#67'#$-%''!#67'#$#7!7'#%所以67!-67'%8)677$#67!##67'#$/!!''!高三数学参考答案!第!!页#共页$理科%!#$%&'{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}书$!!!#!如图%设6关于*对称的点为6!%则6!在圆0上%连接6!9%06!%则!#有#69#$#96!#%故#96#*#90#$#96!#*#90#.#06!#$'!').!%!!0$)%$!%6!'!3!由题知'解得!,),!&-!!'%')*'.)%%('!;<2'#%;<2!6';<2#!/!&!%!因为;<2#$%所以;<2'#$$%%所以;<2#'#%$$$6!%;<2'#!'/!!*;<2'#;<2/!6%!6!/!!'!作出可行域#图略$%当直线%$/$*&经过点#&%0$时%%有最大值%最大值为!'!'!!!!因为#&!*#$&%所以#&!*$'$,%所以,!'*-!(*'$,%则!($%%故!(#!&-'*'$$!'*'!($!&!!!-!!记事件为)小王从有两颗冰糖葫芦的这串吃一颗*%事件#为)小王从有三颗冰糖葫!-芦的这串吃一颗*!只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的情况有-种+%##%$#:!!!!!!!!!#%%#%&##%'##!故所求概率为=*==*===*'''''''''!!!!!!!!!!!!!==*===*===$!'''''''''''!-!6!解+#!$当;$!时%)!$8!$,%……………………………………………………………'分''当;.'时%);$8;%8;%!$&;*-;%,&#;%!$*-#;%!$-$-;*&!…………………分)!$,符合);$-;*&%所以数列!);的通项公式为);$-;*&!………………………6分,,!!!!#'$3;$$$$#%$%…………!0分););*!#-;*&$#-;*,$#';*!$#';*&$'';*!';*&!!!!!!!!!!;则<;$,#%$*#%$*.*#%$-$#%$$!……'&6';*!';*&'&';*&-;*,…………………………………………………………………………………………!'分'!.!解+#!$若)$!%则'#$$$12$*%!%所以'#!$$!!…………………………………'分$!'$%'因为'>#$$$%'$'%………………………………………………………………/分$$$所以'>#!$$%!%所以所求切线方程为&%!$%#$%!$%即$*&%'$0!……………-分!'$%'#'$因为'>#$$$%'$'%$$$所以'#$$在#0%'$上单调递减%在#'%*5$上单调递增%……………………………….分!高三数学参考答案!第!'页#共页$理科%!#$%&'{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}所以'#$$8)2$'#'$$12'*!%)!………………………………………………………!0分因为当$+#0%*5$时%'#$$.0恒成立%所以'#$$8)2$12'*!%).0%所以),12'*!%故实数)的取值范围是#%5%12'*!-!…………………………………………………………………………………………!'分!,!#!$证明+如图!%在等腰梯形#./中%作/=-#于=%.7-#于7!!槡&''=$#7$%所以/=$%#/$槡/=*#=$槡&%''所以/'*#/'$#'%则/-#/!……………………………………………………'分因为/-6#%#//平面6#/%6#/平面6#/%#/06#$#%所以/-平面6#/!………………………………………………………………………………………………/分因为//平面#./%所以平面6#/-平面#./!…………………………………分#'$解+由#!$得/-平面6#/%所以/-6/!因为6/-./%/0./$/%所以6/-平面#./!…………………………………-分以点/为原点建立如图'所示的空间直角坐标系%则#!%0%0$%##0%槡&%0$%6#0%0%槡&$%212121216$#%!%0%槡&$%#6$#0%%槡&%槡&$%/6$#0%0%槡&$%/$#!%0%0$!……………….分21'#(6$%$*槡&%$0%设平面6#的法向量为#$#$%&%%$%则有&令&$!%可取#$21(#(#6$%槡&&*槡&%$0%#槡&%!%!$!……………………………………………………………………………………,分平面6#/的一个法向量为/21!…………………………………………………………!0分2121##(/#槡!设二面角:6#:/的平面角为!%则#79:!#$#79:/#%/0#$21$%…!!分###/槡!0槡!0:)2!$%故二面角:6#:/的正弦值为!……………………………………!'分图!!!!!!!!!!图''0!解+#!$补充列联表如下+合格品优等品总计甲生产线'0'000乙生产线&00'0000总计0/0!000!高三数学参考答案!第!&页#共页$理科%!#$%&'{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}!000=#'0='00%&00='0$'!000根据列联表中的数据%经计算得到>'$$3!0!!0!$0=/0=00=00,,!0!.'.%………………………………………………………………………………………&分所以没有,,!,?的把握认为产品的品质与生产线有关!…………………………………/分!'#'$由样本数据可知甲'乙两条生产线生产的产品中优等品的频率分别为%!'!所以估计从甲'乙两生产线生产的产品中各随机抽取!件产品为优等品的概率分别为%''!……………………………………………………………………………………………-分?的所有可能值为0%!%'%&%/%!'&',!!'&'!'!'&&6#?$0$$#$=#$$&6#?$!$$+'=#$=#$*#$=+'==$&'!00''!0……………………………………………………………………………………………,分!'&'!!'!&'!'''&66#?$'$$#$=#$*+'=#$=+'==*#$=#$$&'''!00!!'''!'!'&!6#?$&$$+'=#$=#$*#$=+'==$&……………………………!0分''!'!6#?$/$$#$'=#$'$!''所以?的分布列为?0!'&/,&&6!!6!00!0!00'&&6!!,所以=#?$$!=*'=*&=*/=$!……………………………………!'分!0!00'4'$槡'%)')$槡'%'!!解+#!$由题意可得解得……………………………………………&分&4$'%&(3$槡'%(4'$)'*3'%$''则双曲线.的标准方程为%&$!!……………………………………………………/分''#'$由题意可知直线*的斜率不为0%设直线*+$$@&*'%#$!%&!$%##$'%&'$%6#$0%0$%'$$@&*'%''联立&$''整理得#@%!$&*/@&*'$0%%&$!%(''/@'则&!*&'$%'%&!&'$'!………………………………………………………分@%!@%!21212121因为6$#$!%$0%&!$%6#$#$'%$0%&'$%所以6(6#$#$!%$0$#$'%$0$*&!&'$''#@&!*'%$0$#@&'*'%$0$*&!&'$#@*!$&!&'*@#'%$0$#&!*&'$*$0%/$0*/!……………………………………………………………………………………………6分!高三数学参考答案!第!/页#共页$理科%!#$%&'{#{QQABIYAEogCIQBAAAAhCAw0oCAEQkBGACAoGRAAAsAIBSBNABAA=}#}/@'将&!*&'$%'%&!&'$'代入上式%@%!@%!'''''2121'#@*!$/@#'%$0$'#$0%'$@%$0*/$0%'得6(6#$%*$0%/$0*/$!……,分@'%!@'%!@'%!2121''若6(6#为定值%则$0%'$$0%/$0*'%解得$0$!%………………………………!!分故存在点6#!%0$%使得621(621#为定值%!!……………………………………………!'分'$$'*&79:#%''!解+#!$由&##为参数$%得#$%'$'*&'$,%(&$&:)2#则圆.的普通方程为#$%'$'*&'$,!……………………………………………………'分由'$79:!%@$:)2!*&$0%得'$%@&*&$0%则直线*的直角坐标方程为'$%@&*&$0!……………………………………………/分#'$由#!$可知圆.的圆心坐标为#'%0$%半径为&%………………………………………分#/*则圆心.到直线*的距离A$$%………………………………-分槡''*#%@$'槡/*@'/,所以###$',%!………………………………………………………………6分槡@'*//,因为###$'槡'%所以',%$'槡'%…………………………………………….分槡@'*/解得@$@槡&!……………………………