江西省新余市2023-2024学年高三上学期期末质量检测数学试卷

2024-02-14 · U1 上传 · 12页 · 862.4 K

高三第一次调研考试数学试题命题人:分宜中学 谢平 新钢中学 邹进辉 审题人:刘勇刚说明:1.本卷共有四个大题,22个小题,全卷满分150分,考试时间120分钟.2.本卷分为试题卷和答题卷,答案要求写在答题卷上,在试题卷上作答不给分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为集合A,集合,则()A. B. C. D.2.已知复数z满足:,则()A.1 B. C. D.53.在中,“”是“为直角三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.为庆祝我国第39个教师节,某校举办教师联谊会,甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为()A. B. C. D.5.如图,()A. B. C. D.6.已知向量,,且,若,则在方向上的投影向量的坐标是()A. B. C. D.7.已知等差数列和的前n项和分别为,,若,则()A. B. C. D.8.已知三棱锥的棱长均为6,其内有n个小球,球与三棱锥的四个面都相切,球与三棱锥的三个面和球都相切,如此类推,…,球与三棱锥的三个面和球都相切(,且),则球的表面积等于()A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某校1500名学生参加数学竞赛,随机抽取了40名学生的竞赛成绩(单位:分),成绩的频率分布直方图如图所示,则()A.频率分布直方图中a的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为22510.已知定义在R上的函数满足,且函数为奇函数,则()A.是周期函数 B.为R上的偶函数C.为R上的单调函数 D.的图像关于点对称11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M是内一点,,,的面积分别为,,,且.以下命题正确的有()A.若,则M为的重心B.若M为的内心,则C.若M为的垂心,,则D.若,,M为的外心,则12.已知长方体的表面积为10,十二条棱长度之和为16,则该长方体()A.一定不是正方体 B.外接球的表面积为C.长、宽、高的值均属于区间 D.体积的取值范围为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线与圆相切,则实数______.14.已知正实数x,y满足方程,则的最小值为______.15.杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办,杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项,61个分项,481个小项,并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务,其中每个项目至少一名志愿者,甲必须在霹雳舞项目,则不同的志愿服务方案共有______种.16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P,Q,若,则C的离心率为______.四、解答题:(本大题共6小题,17题10分,18~22题各12分,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且.(1)求A;(2)若D为的中点,且,求的面积.18.如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面且.(1)证明:平面.(2)求平面与平面的夹角的大小.19.在平面直角坐标系中,动点P到点的距离等于点P到直线的距离.(1)求动点P的轨迹方程;(2)记动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,,直线的斜率为,直线的斜率为.证明:为定值.20.魔方,又叫鲁比可方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法,风靡程度经久未衰,每年都会举办大小赛事,是最受欢迎的智力游戏之一.通常意义下的魔方,是指狭义的三阶魔方.三阶魔方形状通常是正方体,由有弹性的硬塑料制成.常规竞速玩法是将魔方打乱,然后在最短的时间内复原.广义的魔方,指各类可以通过转动打乱和复原的几何体.魔方与华容道、法国的单身贵族(独立钻石棋)并称为智力游戏界的三大不可思议,在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上,杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录,勇夺世界魔方运动的冠军,并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手.(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方,已知小王每局比赛获胜的概率均为,小吴每局比赛获胜的概率均为,若采用三局两胜制,两人共进行了X局比赛,求X的分布列和数学期望;(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方,首局比赛小吴获胜的概率为0.5,若小王本局胜利,则他赢得下一局比赛的概率为0.6,若小王本局失败,则他赢得下一局比赛的概率为0.5,为了赢得比赛,小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”?21.已知等差数列与等比数列满足,,,且既是和的等差中项,又是其等比中项.(1)求数列和的通项公式;(2)记,其中,求数列的前2n项和;(3)记,其前n项和为,若对恒成立,求的最小值.22.已知函数,且.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若,且存在三个零点,,.(i)求实数a的取值范围;(ii)设,求证:.高三数学试题卷参考答案一、单选题(每小题5分,共40分)题号12345678答案DADBCACD二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)题号9101112答案ADABDABCABD三、填空题(每题5分,共20分)13.7或 14. 15.50 16.四、解答题(共70分)17.(1)因为,所以,由正弦定理得,化简得.因为,,所以.因为,所以.(2)因为D为的中点,所以中所,等式两边平方得,即①.在中,由余弦定理得②,联立①②解得,所以.18.(1)取中点F,连接,,都是边长为2的正三角形,,,,又,面,面,面,又平面平面,面且又面且,,,是正方形,又,平面,平面,平面(2)由(1)知,,两两垂直,如图建立空间直角坐标系由于x轴垂直面平面的法向量为又,,,设平面的法向量,则,令,则,,所以平面与平面的夹角为19.(1)因动点P到点的距离等于点P到直线的距离,故可知动点P的轨迹是抛物线,设其方程为,由题意得,故动点P的轨迹方程为:.(2)如图,因直线l的斜率不能为零(否则直线l与抛物线只有一个公共点),又过点,可设,由消去x并整理得:,显然,设,,则由韦达定理,,(*)则,将(*)代入得:,故为定值0.20.(1)因为采用三局两胜制,所以X的可能取值为2,3,表示小王或小吴连胜两局;表示小王与小吴前两局一胜一负;所以,,所以X的分布列为:X23P则X的数学期望为.(2)若小王选择“三局两胜制”,则小王获胜的情况为:胜胜;胜负胜;负胜胜;则小王获胜的概率为;若小王选择“五局三胜制”,则小王获胜的情况为:胜胜胜;胜胜负胜;胜负胜胜;负胜胜胜;胜胜负负胜;胜负胜负胜;胜负负胜胜;负负胜胜胜;负胜负胜胜;负胜胜负胜;则小王获胜的概率为,因为,所以小王应选择“五局三胜制”.21.(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,,,所以,解得,,既是和的等差中项,又是其等比中项,得,,解得,即,所以,.(2),.又,①②①减②得:,.(3),,,则是首项为公比为的等比数列,,,令,,当n为奇数时,,且递减,可得的最大值为,当n为偶数时,,且递增,可得的最小值为,所以的最小值为,最大值为,因为,对恒成立,所以,所以,所以的最小值为.22.(1)当时,则,又,所以,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)(i)因为,且存在三个零点,,,所以有3个根,当时,,,,所以在上是单调递增,由零点存在定理,方程必有一个负根,当,,即有两个根,令,可转化为与有两个交点,,可得时,即在单调递增,可得时,即在单调递减,其中,当,,所以可得,解得.(ii)因为,且存在三个零点,,,设,,,,易知其中,,因为,所以,所以,,,故可知①;由(i)可知与有两个交点,当,是单调递增,所以,,,所以②;即,,若,则,若,构造函数,,则,设,则,因为,又因为,,,,所以③;因为,又因为,,,,所以,;,,即得④;由③④可知,在上单调递增,又可得,,可知与同号,所以,所以在上单调递增,所以,所以,即,又由(i)可知,所以,,,,,是单调递增,所以,⑤,由①②⑤可知.

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