2024九省联考数学试题及答案

2024-01-23 · U1 上传 · 12页 · 1.6 M

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为A.14B.16C.18D.20B将这些数据从小到大排列可得:10,12,14,14,16,20,24,30,40,则其中位数为16.故选:B.2x212.椭圆+y=1(a>1)的离心率为,则a=a2223A.B.2C.3D.23Aa2-1123由题意得e==,解得a=,a23故选:A.3.记等差数列an的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=A.120B.140C.160D.180C因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,a+a×16所以S=116=8a+a=160,162512故选:C.4.设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥lB.若m⊂α,l⊂β,m∥l,则α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥βC对于A,m,l可能平行,相交或异面,故A错误,对于B,α,β可能相交或平行,故B错误,高三数学第1页(共12页)对于D,α,β可能相交或平行,故D错误,由线面平行性质得C正确,故选:C5.甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有A.20种B.16种C.12种D.8种B因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位,①当乙丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙丙中间,212排乙丙有A2种方法,排甲有A2种方法,剩余两个位置两人全排列有A2种排法,212所以有A2×A2×A2=8种方法;②当乙丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙丙中间,212排乙丙有A2种方法,排甲有A2种方法,剩余两个位置两人全排列有A2种排法,212所以有A2×A2×A2=8种方法;由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16种排法,故选:B.6.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=1,-3,记P的轨迹为E,则A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线C设Px,y,由QP=1,-3,则Qx-1,y+3,由Q在直线l:x+2y+1=0上,故x-1+2y+3+1=0,化简得x+2y+6=0,即P轨迹为E为直线且与直线l平行,6-1E上的点到l的距离d==5,故A、B、D错误,C正确.12+22故选:C.3ππ1+sin2θ7.已知θ∈,π,tan2θ=-4tanθ+,则=442cos2θ+sin2θ133A.B.C.1D.442A3ππ由题θ∈,π,tan2θ=-4tanθ+,442tanθ-4tanθ+12得=⇒-4tanθ+1=2tanθ,1-tan2θ1-tanθ1则2tanθ+1tanθ+2=0⇒tanθ=-2或tanθ=-,23π1因为θ∈,π,tanθ∈-1,0,所以tanθ=-,421+sin2θsin2θ+cos2θ+2sinθcosθtan2θ+1+2tanθ==2cos2θ+sin2θ2cos2θ+2sinθcosθ2+2tanθ高三数学第2页(共12页)1+1-141==.2+-14故选:Ax2y28.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过坐标原点的直线与C交a2b2122于A,B两点,F1B=2F1A,F2A⋅F2B=4a,则C的离心率为A.2B.2C.5D.7D由双曲线的对称性可知F1A=F2B,F1B=F2A,有四边形AF1BF2为平行四边形,令F1A=F2B=m,则F1B=F2A=2m,由双曲线定义可知F2A-F1A=2a,故有2m-m=2a,即m=2a,即F1A=F2B=m=2a,F1B=F2A=4a,2F2A⋅F2B=F2A⋅F2Bcos∠AF2B=2a×4acos∠AF2B=4a,1π2π则cos∠AFB=,即∠AFB=,故∠FBF=,2223213222222F1B+F2B-F1F24a+2a-2c1则有cos∠F2BF1===-,2F1B⋅F2B2×4a×2a222220a-4c1204e12即=-,即-=-,则e=7,由e>1,故e=7.16a2216162故选:D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.3π3π9.已知函数fx=sin2x++cos2x+,则44πA.函数fx-为偶函数B.曲线y=fx对称轴为x=kπ,k∈Z4ππC.fx在区间,单调递增D.fx的最小值为-232AC3π3πfx=sin2x++cos2x+443π3π3π3π=sin2xcos+sincos2x+cos2xcos-sin2xsin44442222=-sin2x+cos2x-cos2x-sin2x=-2sin2x,2222即fx=-2sin2x,高三数学第3页(共12页)ππ对于A,fx-=-2sin2x-=2cos2x,易知为偶函数,所以A正确;42ππkπ对于B,fx=-2sin2x对称轴为2x=+kπ,k∈Z⇒x=+,k∈Z,故B错误;242ππ2π对于C,x∈,,2x∈,π,y=sin2x单调递减,则323fx=-2sin2x单调递增,故C正确;对于D,fx=-2sin2x,则sin2x∈-1,1,所以fx∈-2,2,故D错误;故选:AC10.已知复数z,w均不为0,则222zzzzA.z=|z|B.=2C.z-w=z-wD.=z|z|wwBCD设z=a+bia,b∈R、w=c+dic,d∈R;222222对A:设z=a+bia,b∈R,则z=a+bi=a+2abi-b=a-b+2abi,2|z|2=a2+b2=a2+b2,故A错误;22zz2zz对B:=,又z⋅z=z,即有=2,故B正确;zz⋅zz|z|对C:z-w=a+bi-c-di=a-c+b-di,则z-w=a-c-b-di,z=a-bi,w=c-di,则z-w=a-bi-c+di=a-c-b-di,即有z-w=z-w,故C正确;za+bia+bic-diac+bd-ad-bci对D:===wc+dic+dic-dic2+d2ac+bd2ad-bc2a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2=22+22=222c+dc+dc+da2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=222=,c+dc2+d22222za2+b2a2+b2×c2+d2a+bc+d===wc2+d2c2+d2c2+d2a2c2+b2c2+a2d2+b2d2=,c2+d2高三数学第4页(共12页)zz故=,故D正确.ww故选:BCD.111.已知函数fx的定义域为R,且f≠0,若fx+y+fxfy=4xy,则211A.f-=0B.f=-22211C.函数fx-是偶函数D.函数fx+是减函数22ABD1111令x=、y=0,则有f+f×f0=f1+f0=0,22221又f≠0,故1+f0=0,即f0=-1,211111111令x=、y=-,则有f-+ff-=4××-,222222221111即f0+ff-=-1,由f0=-1,可得ff-=0,222211又f≠0,故f-=0,故A正确;221111令y=-,则有fx-+fxf-=4x×-,222211即fx-=-2x,故函数fx-是奇函数,2211有fx+1-=-2x+1=-2x-2,即fx+=-2x-2,221即函数fx+是减函数,21令x=1,有f=-2×1=-2,2故B正确、C错误、D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合A=-2,0,2,4,B=xx-3≤m,若A∩B=A,则m的最小值为.5高三数学第5页(共12页)由A∩B=A,故A⊆B,由x-3≤m,得-m+3≤x≤m+3,4≤m+3m≥1故有,即,即m≥5,-2≥-m+3m≥5即m的最小值为5.故答案为:5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等,则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是,圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是.2①.②.13设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=3r,母线l=2r,3由题可知:h=2R,所以球的半径R=r21233所以圆锥的体积为V=×π×r×3r=πr,1333434333球的体积V=πR=π×r=πr,233223πr3V132所以==;V323πr3222圆锥的表面积S1=πrl+πr=3πr,2232球的表面积S=4πR=4π×r=3πr,222S13πr所以=2=1,S23πr2故答案为:;1.314.以maxM表示数集M中最大的数.设00,b=1-n-p所以,a=1-m-n-p若b≥2a,则b=1-n-p≥21-m-n-p,故2m+n+p≥1,令M=maxb-a,c-b,1-c=maxm,n,p,高三数学第6页(共12页)2M≥2m1因此M≥n,故4M≥2m+n+p≥1,则M≥,4M≥p若a+b≤1,则1-n-p+1-m-n-p≤1,即m+2n+2p≥1,M=maxb-a,c-b,1-c=maxm,n,p,M≥m1则2M≥2n,故5M≥m+2n+2p≥1,则M≥,52M≥2p当m=2n=2p时,等号成立,1综上可知maxb-a,c-b,1-c的最小值为,51故答案:5四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)2已知函数fx=lnx+x+ax+2在点2,f2处的切线与直线2x+3y=0垂直.(1)求a;(2)求fx单调区间和极值.【小问1详解】119fx=+2x+a,则f2=+2×2+a=+a,x2292由题意可得+a×-=-1,解得a=-3;23【小问2详解】2由a=-3,故fx=lnx+x-3x+2,12x2-3x+12x-1x-1则fx=+2x-3==,x>0,xxx11故当00,当1时,fx>0,2211故fx的单调递增区间为0,、1,+∞,fx的单调递减区间为,1,22111213故fx有极大值f=ln+-3×+2=-ln2,22

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