2024届湖南省邵阳市高三上学期第一次联考（一模）数学答案

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学(副卷) 一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项8540.是符合题目要求的)题号12345678答案CDDADBCDkk.解析:由kπxπkπ,kZ,得2π2πx2ππ,kZ,7C 2π-≤3+≤2π+∈-≤≤+∈2623939ékkùf(x)的单调增区间为ê2π2π,2ππú,kZ.∴ëê-+ûú∈3939éùf(x)在ê,17aú上递增,17aπ,a8π.∵ëê0ûú∴0<≤∴0<≤7272917kk由kπxπk3,kZ,得2ππx2π4,kZ,f(x)的单调减区2π+≤3+≤2π+π∈+≤≤+π∈∴2623939ékkù间为ê2ππ,2π4ú,kZ.7π17a10,7πa10.ëê++πûú∈∴≤<π∴≤≤π39399991717综上,7πa8π.≤≤17171e711e71aexex(x).解析:87,设f(x),x,f′(x)-1,f′(x),8D b=1=1=x0<<1=x2∴<01e8e87181ef(x)在(,)上单调递减.又11,f1f1,ab.又ac1e7,∴01>∴()<()∴<-=(-)787887设g(x)exex,g′(x)exe,x时,g′(x),g(x)在(,)单调递减.=-=-<1<0∴-∞1g1g(),ac.综上cab.∴()>1=0∴><<7二、多选题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的选项中,有多项符合题4520目要求.全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分)520题号9101112答案ADBCDBCACD.解析:错.CD平面AADD,CDDE.又DEDE,DE平面11BC AB.∵11⊥11∴11⊥⊥1∴⊥年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学·副卷)第页(共页)2024 17{#{QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=}#}DCE,对.CABCD,AB平面CDE.VpCDE为定值,对.D设外接球球心11B.∵11∥∴11∥∴-C.为O,即为对角线AC中点.O到平面DCE距离为A到平面DCE距离的一半,A到平面111CDE距离为,O到平面CDE距离为2,正四棱柱外接球半径为,截面圆半径r26∴=2122,Sr211π.错.6-=∴=π=∴D222.解析:因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),所以f′(x)f′(x),12ACD -1-1=---1-1=--1即g(x)g(x),所以g(x)的图象关于直线x对称.因为g(x)为奇函数,-1=--1=-12+1所以函数g(x)的图象关于点(,)对称,所以是函数g(x)的一个周期.因为g()1080=1,所以g()1,g()1,g()1,所以12kg(k)(2=-4=-6=k఑=2=-1-2+3+4-5-6+7+8-9-33331)1.故选.10+11+12×=4ACD3三、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)4520....71325 149 151 168θθθθθθθθθθ.解析:θθθ2sincoscos2cos4sin2cos2cos42sin2cos2cos4151 coscos2cos4=θ=θ=θ=2sin2sin4sinθθθ2sin4cos4sin81,所以θθ,即θθ,;故θ(θ)θ=θ=-sin8=-sinsin+sin8=08+-=8sin8sin8k(kZ)或θ(θ)k(kZ),因为π,π,所以θ2π,故2θθπ+2π∈8--=2π∈0∈()=2cos4-cos=749x2y2x2y2.7解析:设椭圆方程为(ab),双曲线方程为:(a,b).16 a2+b2=11>1>0a2-b2=12>02>081122PFPFa,PFaa,不妨设点P为第一象限的交点,由题意知:1+2=21则1=1+2{PFPFa.{PFaa.1-2=222=1-2由余弦定理得:c2PF2PF2PF·PF·FPFc2a2a2.4=1+2-212cos∠12⇒4=31+231.∴4=e2+e212e21e2e21e2·131·e21e2∴1+2=(1+2)1=(e2+e2)(1+2)1212412121e21e21·3×2e21·3×2e2.=(1121)≥112·122()4+3+e+e43++2e2e212121212年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学·副卷)第页(共页)2024 27{#{QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=}#}e2当且仅当1e4e4时取等号,e22.2=1∴1=42317,e27.∴4=e2+e2=e2∴1=121218四、解答题(本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)670.分17(10)解:不难知第台加工零件的次品率为%第台加工零件的次品率为%.(1),15,27记事件A表示从混放的零件中任取一个零件该零件是次品“,”,事件B表示从混放的零件中任取一个零件该零件是第i台车床加工的i.1“,”,=1,2PAB..则PBA(2)04×00714.分(2|)=PA=....=……………………………………5()06×005+04×00729X的可能取值为且X服从二项分布.(2)0,1,2,3,…,10,由知PA......(1),()=06×005+04×007=0058XB..EX...分∴~(10,0058) ∴()=10×0058=058…………………………………10.分18(12)解:由已知AπAπ.分(1)2sin(2-)=2,∴sin(2-)=1……………………………………266AπAπ11.∵0<<π,∴-<2-<π666AππAπ.分∴2-=,∴=…………………………………………………………………5623D→CB→DB→D1B→C1A→CA→B.(2)∵=2,∴==(-)33又A→DA→BB→D2A→B1A→C=+=+,33b2b2A→DA→BA→Cc2bcb2(c)+c+42+4+2+.分∴===2………………………………8B→DA→CA→Bb2bcc2bb-+-(c)-c+1b令tc=>0,A→Dt2ttt+2+43(+1)3(+1)∴==1+2=1+2B→Dt2ttttt-+1-+1(+1)-3(+1)+333.分=1+≤1+=23+4=3+1……………………10t3-(+1)+t-3233+1当且仅当t取等号.=3-1年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学·副卷)第页(共页)2024 37{#{QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=}#}A→D的最大值为.分+∴B→D31……………………………………………………………12.分19(12)证明:圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到所以圆台的母线(1)∵,也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.母线AA与母线BB的延长线必交于一点11∴,AABB四点共面.分∴,1,,1…………………………………………………………………2圆面O圆面O且平面ABBA圆面OAB平面ABBA圆面OAB.11111111∵∥,∩=,∩=ABAB.分∴11∥………………………………………………………………………………5解:ABO为等边三角形(2)∵△,AOBπ如图建立空间直角坐标系Oxyz∴∠=,-,3设OOtt.|1|=(>0)AB333At.(3,0,0),(,,0),1(2,0,)22A→AtA→B3331=(-1,0,),=(-,,0)22设平面ABBA的一个法向量nxyz.则有111=(,,):ìxtzï-+=0,í令x则yz3n3.分===1=()ï3x33y.3,1,t,∴3,1,t………………………8î-+=022底面的一个法向量n2=(0,0,1),因为截面与下底面所成的夹角大小为°60,所以°nn331=12===cos60|cos〈,〉|t2,t33+42·4+t2t3分∴=,…………………………………………………………………………………102A→A3又AB→2A→BB坐标为3.∴1=(-1,0,),11==(-1,3,0),∴1(1,3,)232OB→∴11=(1,3,0),A→AOB→A→AOB→1·11-1-13.111===cos〈,〉A→AOB→|1||11|1313·22异面直线AA与OB所成角的余弦是13.分∴111……………………………………1213年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学·副卷)第页(共页)2024 47{#{QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=}#}.分20(12)aan解:a2n2n.(1)∵1++…+n=,≥12aana2-1n2n.∴1++…+n=(-1),≥22-1ann2n2n.即annn.分∴n=-(-1)=2-1n=(2-1),≥2……………………………………2当n时a满足上式.=1=1,1,nannn2nb-1.分∴n=(2-1)=2-,n=2………………………………………………………4anbnn由知n-1.(2)(1):n=(2-1)·2nT01n-1分n=+++-∴1·23·2…(2n1)·2,…n……………………………………………5T1n-1n.n=++-+-21·2…(23)·2n(21)·2nT1-1n分-n=+++--∴12·2…n2·2(21)·2……………………………………………7-12(1-2)nn分=1+2·-(2-1)·2………………………………………………9n1-2n-1n=1+4(2-1)-(2-1)·2nnn=2·2-(2-1)·2-3nn.分=(3-2)·2-3………………………………………………………………11Tnn.分∴n=(2-3)2+3……………………………………………………………………12.分21(12)ïìb2=3,ï解:依题意得íac1分(1)ï-=,……………………………………………………………2ï2îa2b2c2.=+解得ab3c1=1,=,=,22y2椭圆C的标准方程为x2.分∴+=1……………………………………………………434存在点P使APEOPF点P的坐标为1.理由如下分(2),∠=∠,(,0):…………………53直线l过点与椭圆Cx24y2交于不同的两点EF.且都在x轴上方.∵(3,0),:+=1,3直线l的斜率存在且不为设直线l的方程为ykxk.∴0,=(-3),≠0ìykxï=(-3),联立方程í消去y可得ïx24y2.:î+=13k2x2k2xk2.(3+4)-24+36-3=0年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学·副卷)第页(共页)2024 57{#{QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=}#}k2k2设ExyFxy则xx24xx36-3.分(1,1),(2,2),1+2=k2,12=k2……………………………73+43+4APEOPF∵∠=∠,yyk(x)(xm)kx(xm)kk121-32-+(2-3)1-∴PE+PF=xm+xm=(xm)(xm)1-2-1-2-k2k272-6m24mxxmxxmk2-(3+)·k2+6k212-(3+)(1+2)+6k3+43+4=·(xm)(xm)=·(xm)(xm)1-2-1-2-k2k2mk2mmk2k72-6-72-24+18+24.分=·(xm)(xm)k2=0………………………………101-2-·(3+4)mm1.∴18-6=0,∴=3存在P点满足条件.P点坐标为1.分∴(,0)…………………………………………………………………123.分22(12)aaxaax解:f′xa(+2)(-1)+(+2)-2x.(1)()=