福建省莆田第六中学2023-2024学年高三上学期1月质检模拟测试+数学+Word版含解析

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莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科试卷命题人:高三备课组审核人:高三备课组一.选择题(每题5分,共40分,每题只有一个符合题意的选项)1.已知集合,则()A. B. C. D.2.已知复数,则()A. B. C. D.3.已知向量满足,则的夹角为()A. B. C. D.4.函数的图象大致为(    )A.   B.  C.   D.  5.亚运会火炬传递,假设某段线路由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有()A.288种 B.360种 C.480种 D.504种6.若函数,的值域为,则的取值范围是()A.B.C. D.7.已知,,,则()A.B.C. D.8.已知定义在上的奇函数满足,则对所有这样的函数,由下列条件一定能得到的是()A. B. C. D.二.多项选择题(每题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.在一次数学考试中,某班成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是()A.图中所有小长方形的面积之和等于1 B.中位数的估计值介于100和105之间C.该班成绩众数的估计值为97.5 D.该班成绩的极差一定等于4010.一副三角板由两个直角三角形组成,如图所示,且,现将两块三角板拼接在一起,得到三棱锥,取和中点、,则下列判断中正确的是()A.直线面B.三棱锥体积为定值.C.与面所成的角为定值D.设面面,则∥11.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线上,点,点P到点Q和到y轴的距离分别为,则()A.抛物线C的准线方程为B.若,则周长的最小值等于3C.若,则的最小值等于2D.若,则的最小值等于12.定义在上函数的导函数为,对于任意实数,都有,且满足,则()A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根,,则D.在处的切线方程为三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.展开式中的系数为______.(用数字作答).14.等比数列的前n项和为,若,,,,则=______.15.已知为坐标原点,分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点,点在椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为______.16.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球,若圆台的上下底面半径为,,且,则它的内切球的体积为______.四.解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在中,内角,,所对的边分别为,,,满足.(1)求角的大小;(2)若,边上的中线的长为,求的面积.18.(12分)在数列中,.(1)证明:数列为常数列.(2)若,求数列的前项和.19.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)记的中点为,若在线段上,且直线与平面所成的角的正弦值为,求线段的长.20.(12分)近年来我国新能源汽车产业迅速发展,下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:年份销量(万台)某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主女性车主总计(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数,并判断与之间的线性相关关系的强弱;(若,相关性较强;若,相关性一般;若,相关性较弱)(2)请将上述列联表补充完整,根据小概率值的独立性检验,分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系?①参考公式:相关系数;②参考数据:;③卡方临界值表:0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中,.21.已知双曲线:的离心率为,直线:与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为,直线平行于,且交双曲线C于M,N两点,求证:△的垂心在双曲线C上.22.(12分)已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率;(2)当时,比较与x的大小;(3)若函数,且(),证明:. 莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分12345678CBBCCDAC二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9101112ABCACDBDAC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-814.3115.16.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17.(10分)【详解】(1)由已知及正弦定理得,…………………………1分则,……………………3分在中,故,…………………………………………4分又,故.…………………………………………………………………………5分(2)由,得,………………………………………6分由题意,则,…………………7分即,解得,……………………………………………9分故的面积为.…………………………………………10分  18.(12分)【详解】(1)令,得,.………………………………1分因为①,所以②.……………………………………2分①-②得,即.…………………………4分因为,所以数列为常数列.…………………………………………5分(2)由(1)可得,所以是公差为1的等差数列,所以.………7分因为,………………………………………………………………………8分所以③,④.………………………………………………………………9分③-④得,…………………………………………………………………11分所以.…………………………………………………………………12分19.(12分)【详解】(Ⅰ)连接,则,因为,所以四边形为平行四边形;所以,因为且为的中点,所以,………2分所以,所以,即,………3分又因为,所以平面;………………………………………4分(Ⅱ)以为原点,为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,…………5分设平面的法向量为,则,即,取,…………6分设平面的法向量为,则,即,取,…7分所以,…………………9分(Ⅲ)设,则,而,所以,由(Ⅱ)知平面的法向量为,设直线与平面所成的角为,则,…………………11分化简得,解得:或,故线段的长度为或.……………12分20.【详解】(1)由表格知:,,(1分)所以,(2分),(3分),(4分)由上,有,(6分)所以与之间的线性相关性较强;(7分)(2)依题意,完善表格如下:购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主女性车主总计(9分)则的观测值,(11分)根据小概率值的独立性检验,我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关,此推断犯错误概率不大于.(12分)21.解:(1)因为双曲线的离心率为,所以,即,所以双曲线的方程为,联立直线与双曲线的方程,消去得,即,因为与双曲线C仅有一个公共点,所以,解得,故双曲线的方程为.(2)设,,则满足消去得,所以,,如图所示,过A引的垂线交C于另一点H,则AH的方程为.代入得,即(舍去)或.所以点H为.所以,所以,故为的垂心,得证.22.(12分)【详解】(1)解:因为函数,可得………1分则,……………………………………………………………………………2分所以曲线在处切线的斜率为.…………………………………………………3分(2)解:设函数,可得,…4分当时,,则在上单调递增,………………………………5分所以,从而,所以.…………………………………6分(3)证明:设函数,当时,,,则恒成立,则由,得,……………………………………………………7分又,所以,……………………………………………8分因为,可得,令,可得,所以单调递增,即在单调递增,所以,所以在上单调递增,又由,所以,…………………………9分同理得,要证,只需证,即证,因为,所以,……………………………………………………………10分设函数,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以,所以,………………………11分所以,从而得证.……………………………12分 选择题第8题,第12题答案8.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件易得是周期为的奇函数,且是一条对称轴,再结合各项判断是否一定有成立即可.【详解】由题设,即,所以是周期为的奇函数,且是一条对称轴,当时,则,,不符合当时,则且,不符合;当时,则,,故;当时,则且,不符合;故选:C二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个符合题目要求.全不选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.12.【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判定A,根据导数的运算可得进而可求解,即可求解BD,根据二次函数的图象性质,即可求解C.【详解】对于A,,由可得,所以,且定义域为,故为奇函数,A正确,由于,所以为常数,则又在中,令,则,故,故,所以,对于B,可得,又,故,则,故B错误,对于C,为单调递增函数,而为开口向上,且对称轴为的二次函数,且是的两个交点,的两个交点设为,则,且,又为单调递增函数,所以,所以,C正确,由得,所以在处的切线方程为,D错误,故选:AC

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