精品解析：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（原卷版）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14 B.16 C.18 D.202.椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.23.记等差数列的前项和为，则（）A.120 B.140 C.160 D.1804.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种 B.16种 C.12种 D.8种6.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线7.已知，则（）A. B. C.1 D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（）A. B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.函数偶函数B.曲线对称轴为C.在区间单调递增D.的最小值为10.已知复数均不为0，则（）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B.C.函数是偶函数 D.函数是减函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若，则的最小值为__________．13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．14.以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．17.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．（1）证明：平面；（2）求二面角正弦值．18.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．（1）证明：直线过定点；（2）设为直线与直线交点，求面积的最小值．19.离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．（1）若，求；（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；（3）已知．对，令．证明：．