江西省宜丰县2023-2024(上)创新部高三12月考试数学试卷一、单选题(40分)M2,1,0,1,2Nx|yln(x23x)1.已知,则MN()A2,1,0B.2,1C.0,1,2D.1,2,3.32.已知向量a4,3,bm,1,且夹角的余弦值为-,则m()52424A.0B.1C.0或D.7733.若cos(),则sin2457117A.B.C.D.255525n*4.数列an满足an12sin1ann,nN,则数列an的前80项和为()2A.1640B.1680C.2100D.21205.正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点,当PAPD取得最小值时,点P到AD的距离为()326632232A.B.C.D.1212124x6.已知函数fx,过点a,b作曲线fx的切线,下列说法正确的是()ex4aA.当0a2时,可作两条切线,则b的值为e2B.当a2,b0时,可作两条切线4C.当a0,b时,有且仅有一条切线e24D.当a0时,可作三条切线,则0be27.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB4、BC3,M、N分别为棱AB、BB1的中点,点P在对角线A1C1上,且A1P3,过点M、N、P作一个截面,该截面的形状为()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形第1页/共5页学科网(北京)股份有限公司8.已知函数fxsinx2axaxcosx,x0,fx0,则实数a的取值范围是()1111A.,B.0,C.,D.0,4433二、多选题(20分)9.在ABC中,下列命题中正确的有()A.若ab,则sinAsinBB.若sinAsinB,则AB11C.若AB,则D.若AB则cos2Acos2Bsin2Asin2B10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,E为AB的中点,则()A.直线BC1与直线A1E为异面直线B.BC1//平面A1EC5C.二面角A1ECA的正弦值为57πD.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为311.设定义在R上的函数fx的导函数为fx,若fx1与fx2均为偶函数,则下列说法一定正确的是()A.fx的图象关于x=1对称B.2为fx的一个周期C.fx的图象关于2,0对称D.fx为偶函数x2y212.已知椭圆C:1b0的左右焦点分别为F1、F2,点P2,1在椭圆内部,点Q在椭圆4b2上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是()2A.离心率e的取值范围为0,226B.当e时,QF1QP的最大值为442C.存在点Q,使得QF1QF2011D.的最小值为1QF1QF2三、填空题(20分)第2页/共5页学科网(北京)股份有限公司13.在(3y)(xy)4的展开式中x2y3的系数为___________.14.3个大人和2个小孩乘船游玩,现有船3只,1号船最多装3人,2号船最多装2人,3号船最多装1人,可从中任选2只或3只船乘坐,但一只船上不能只有小孩,则有______种不同的分乘方法.lnx,0x215.设fx若方程f(x)m有四个不相等的实根xii1,2,3,4,且f4x,2x4222x1x2x3x4,则x1x2x3x4的取值范围为___________.x216.已知点F是椭圆y21(a1)的右焦点,点P0,3到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过25,a2当椭圆的离心率取到最大值时,则PQQF的最大值等于__________.四、解答题(70分)17.已知平面四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,BC=3.(1)若AB=6,AD=3,CD=4,求BD;93(2)若∠ABC=120°,△ABC的面积为,求四边形ABCD周长的最大值.218.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程,某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题,每类试题各10题,其中每答对1道A类试题得10分;每答对1道B类试题得20分,答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A2类试题中有7道题能答对,而他答对各道B类试题的概率均为.3(1)若该同学只抽取3道A类试题作答,设X表示该同学答这3道试题的总得分,求X的分布和期望;(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答,求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.2219.已知单调递减的正项数列an,n2时满足anan11an1an12anan1anan1an10.1a,S为a前n项和.12nn(1)求an的通项公式;1(2)证明:Sn1.n120.已知三棱柱ABC-A1B1C1,ABAC2,AA13,A1ABA1ACBAC60,M,N为线AMBN段AC1,BA1上的点,且满足t(0t1).AC1BA1第3页/共5页学科网(北京)股份有限公司(1)求证:MN//平面ABC;(2)求证:BB1BC;3(3)设平面MNA∩平面ABCl,已知二面角MlC的正弦值为,求t的值.3f(x)(x1)ln(x1)x21.已知函数.(1)当x0时,fx0,求的最大值;11111(2)设nN*,证明:1ln2.2342n12nx2y222.已知双曲线C:1(a0,b0)经过点P4,6,且离心率为2.a2b2(1)求C的方程;(2)过点P作y轴的垂线,交直线l:x1于点M,交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点,SMAB直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若k1k22,求.SNAB第4页/共5页学科网(北京)股份有限公司江西省宜丰县2023-2024(上)创新部高三12月考试数学试卷一、单选题(40分)M2,1,0,1,2Nx|yln(x23x)1.已知,则MN()A.2,1,0B.2,1C.0,1,2D.1,2,3【答案】B【解析】【分析】先化简集合N,再利用集合的交集运算求解.【详解】解:由x23x0,得x3或x0,则Nx|x0或x3,又M2,1,0,1,2,所以MN2,1,故选:B32.已知向量a4,3,bm,1,且夹角的余弦值为-,则m()52424A.0B.1C.0或D.77【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.【详解】由已知a(4)2(3)25,bm21,ab4m3,所以rrrrab4m333cosa,brr22,即4m33m10,故m,且ab5m1542416m224m99m29,解得m0或(舍去)所以m07,故选:A33.若cos(),则sin2457117A.B.C.D.255525【答案】D【解析】2237【详解】试题分析:cos22cos121,44525第1页/共27页学科网(北京)股份有限公司且cos2cos2sin2,故选D.42【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题,关键是把待求角用已知角表示:(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.n*4.数列an满足an12sin1ann,nN,则数列an的前80项和为()2A.1640B.1680C.2100D.2120【答案】A【解析】【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.2nn4【详解】设f(n)2sin1,因为sin的周期为,222n所以f(n)2sin1的周期为T2.2又f(1)1,f(2)1,所以当n为奇数时,f(n)1,所以当n为偶数时,f(n)1.又an1f(n)ann,所以a2a11,a3a22a11,a4a33a14,于是得到a1a2a3a46,同理可求出a5a6a7a814,a9a10a11a1222…,设bna4n3a4n2a4n1a4n,则数列bn是以6为首项,8为公差的等差数列,所以数列an的前80项和为数列bn的前20项和201982061640.故B,C,D错误.2故选:A.5.正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点,当PAPD取得最小值时,点P到AD的距离为()第2页/共27页学科网(北京)股份有限公司326632232A.B.C.D.1212124【答案】A【解析】21【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径,取AD的中点为E,PAPDPE,可得当PE4的长度最小时,PAPD取得最小值,求出球心O到点E的距离d,可得点P到AD的距离为dr.【详解】因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体,11362所以其体积为11.322312设正四面体ABCD内切球的半径为r,11326则411r,得r.3221212如图,取AD的中点为E,则PAPD(PEEA)(PEED)221PEPE(EAED)EAEDPE.4显然,当PE的长度最小时,PAPD取得最小值.6设正四面体内切球的球心为O,可求得OAOD.42222612因为球心O到点E的距离dPAAE,42426326所以球O上的点P到点E的最小距离为dr,41212326即当PAPD取得最小值时,点P到AD的距离为.12故选:A.第3页/共27页学科网(北京)股份有限公司【点睛】关键点睛:本题考查几何体的内切球问题,解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径,得出点P到AD的距离为球心O到点E的距离减去半径.x6.已知函数fx,过点a,b作曲线fx的切线,下列说法正确的是()ex4aA.当0a2时,可作两条切线,则b的值为e2B.当a2,b0时,可作两条切线4C当a0,b时,有且仅有一条切线.e24D.当a0时,可作三条切线,则0be2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义,结合函数单调性的判断方法,对参数值进行分类讨论,即可判断和选择.x01x【详解】设过点a,b的切线与曲线的切点为x0,x,又f(x),故过点a,b的切线方程为:e0ex2x01x0x01x0x0ax0ayxxxx0,则bxxax0,整理得:b;e0e0e0e0ex02xaxax2xa令hx,则h(x),且当x时,hx→0,当x时,exexhx;对A:当0a2时,显然hx在,a单调递减,在a,2单调递增,在2,单调递减,又a4aha0,h2,eae24aa若过点a,b可作两条切线,则b或,故A错误;e2ea第4页
数学-江西宜春宜丰中学2024届高三上学期12月
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